Teorema de pitagoras

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Judit Sandate Reyes
205
Conalep
Matemáticas
Psp. Vanessa De Luna
Demostraciones del Teorema de Pitágoras

TEOREMA DE PITAGORAS Y SUS DEMOSTRACIONES

El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos y más famosos de las matemáticas; fue descubierto y utilizado por diferentes civilizaciones en distintas épocas. Los egipcios y los hindúes lo usaban para construir edificios.Los chinos (que los llamaban de "kou ku" lo utilizaron también para  la construcción y después ampliaron su aplicación a la astronomía y al álgebra.
Del teorema de Pitágoras hay muchísimas demostraciones diferentes (más de doscientas), e incluso hay libros dedicados exclusivamente a dar esas demostraciones. En esta unidad te propondremos cinco demostraciones.
Al ser uno de los más conocidos en lahistoria de las matemáticas, El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidenseE. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pitagoream Proposition. En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, medianteel uso de vectores.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo,es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

El teorema de Pitágoras
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas: 
 
* Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
* En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema dePitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración: 

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. 
El área de estecuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): 
 
más el área del cuadrado de adentro  . Es decir, el área del cuadrado grande también es elárea del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

Si ahora desarrollamos el binomio, nos queda:

Que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

Demostración:
1º) Construyo los cuadrados sobre los lados del ABC
2º) BD es altura de ABC con respecto a la hipotenusa y la prolongohasta el punto E.
3º) Determino los triángulos GAC y BAF
4º) El área del GAC = [GAC] = base*altura/2 = GA*AB/2    como GA = AB por ser cuadrado → [GAC] = AB*AB/2 = (AB^2)/2
5º) [BAF] = AF*AD/2, es decir la mitad del área del triángulo ADEF
6º) Comparamos los triángulos GAC y BAF:
GA = AB, AC = AF, GÂC = BÂF = 1r + α
7º) Por 4º 5º y 6º el área de la mitad del cuadrado es igual al área de la...
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