Teorema De Rolle

TEOREMA DE ROLLE

Teorema de Rolle
El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
* es una función continua definida en un intervalo cerrado
* es derivable sobre el intervalo abierto
*Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangentehorizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la funciónalcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.
Parce eso es loq significa no hay como sacar en todas parte dice lo mismo amor y dice esto mismo y esto se hace como lo de el cuadro de doble entrada

Ejemplos:
1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisfacela hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.
Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua yderivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Además,
f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8   y,  f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8.  Por lo tanto,f(-2) = f(2) = 8.
Luego, f’(x) = 4x3 - 4x
= 4x(x2 - 1)
= 4x(x + 1)(x - 1)
Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0)= 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.

Verificar el teorema del valor medio para f(x)=x2+2x+1  paraa=1 y b=2
  f(1)=12+2+1=4
y
f(2)=22+2(2)+1=9   
 De acuerdo al teorema del valor medio hay al menos un número c entre a=1 y b=2 tal que:
    Encontremos explícitamente el valor de la derivada...