teorema de semejanza de triangulos
Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros doslados, un triángulo semejante al dado.
H)
ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M
T)
D)
[editar]Casos
Podrán presentarse 3 casos:
[editar]Primer caso
r corta a los lados AB y BC porpuntos interiores a ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):
por carácter reflejo
por ser correspondientes entre r || AC, secante AB
por sercorrespondientes entre r || AC, secante BC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:
Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, ynuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:
Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en se obtiene:
De y se obtiene la consideración quellamaremos (2):
Luego de (1) y (2), resulta:
por definición de semejanza.
[editar]Segundo caso
r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas deorigen B que los contienen.
Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:
por carácter simétrico.
[editar]Tercer caso
r marca alas semejantes de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construyeBN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.
Quedan entonces por el caso I, semejanza que llamaremos .
Teniendo en cuenta los triángulosBNO y BLM, se observa:
BN=BM por construcción
α=α' por ser opuestos por el vértice.
β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer corolario...
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