Teorema De Tales

Colegio Concepción
Talca

Teorema de Tales

Introducción

Con el siguiente e informe podremos conocer y aprender sobre la vida de Tales, él fue uno de los más grandes matemáticos de su época, concentrándose sus principales aportes en las bases de la geometría.
Con el presente informe podremos conocer el teorema de tales que posee dos postulados, elprimero explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos). Mientras el segundo intenta explicar una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamenteutilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos, comprenderlos, analizarlos y explicarlos a nuestros compañeros.

Tales de Mileto

Primer teorema de Tales

Se dice que Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. Recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

“Si por un triángulo se traza unalínea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes”.

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También se puede mencionar que la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos.

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Corolario

Del establecimiento de la existencia de una relación desemejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
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Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se que el cociente entre los lados A y B deltriángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:
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Este corolario es la base de la geometría descriptiva.
Además de este corolario se puede deducir lo siguiente : Si las rectas DE y BC son paralelas y cortan a otras dos rectas AB y AC,entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

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Segundo teorema de Tales

Es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscrito , el enunciado es el siguiente: Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACBes recto.

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Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

Este teorema, es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

En la circunferencia de centro O y radio r, los segmentosOA, OB y OC son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es: 2α + 2β = π

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
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Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Corolario
a) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la Hipotenusa es siempre ½de la hipotenusa.”

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.

b) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
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Aplicación...