Teorema del binomio de newton

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TEOREMA DEL BINOMIO
INTRODUCCIÓN Sean a y b números reales y además n y k números enteros, tal que 0 ≤ k ≤ n , entonces: (a + b)n =

k = 0



n

( )an
k

n

− k

bk

Donde: ( )
kn

=

n! k!(n − k )!

Ejemplo:

Desarrolle ( a + b ) 4 . Respuesta: ( a + b )4

=

k = 0


4 0

4

( )a4
k

4

– k

bk
4 2 2 2 3 4 4 4 4

= = TÉRMINO EMÉSIMO

( ) a 4b0 + ( ) a3 b1 + ( ) a2 b2 + ( ) a1 b3 + ( ) a0 b4
1 4 3 3

4

a + 4a b + 6a b + 4ab + b

Se determina el término emésimo haciendo k = m – 1 Ejemplo: Determine el quinto término en el desarrollode ( x + 2 ) 6 . Respuesta:

( x + 2 )6

=

k = 0



6

( )x6
k

6

− k

2k

quinto término


6

m = 5
− 4

⇒ =

k = 4 16 ×

⇒ = 240 x 2

( )x6
4

24

6! x24! × 2!

∴ El quinto término es 240 x 2 .

TÉRMINO CENTRAL Para n par Cuando n es par, se determina el término central haciendo: k Ejemplo: = n 2

Determine el término central en el desarrollode ( p + q ) 8 . Respuesta:

(p + q )8

=

k = 0



8

( )p8
k

8

− k

qk

k

=

8 2

=

4



( )p8
4

8

− 4

q4

=

8! p4 q4 4! × 4!

=

70 p 4 q 4∴ El término central es 70 p 4 q 4 . Para n impar Cuando n es impar, se determinan los términos centrales haciendo: k Ejemplo: = n − 1 2 y k = n + 1 2

Determine los términos centrales en eldesarrollo de ( a – b ) 7 . Respuesta:

(a − b)

7

=

k = 0



7

( )a
k

7

7 − k

(− b)

k

=

k = 0 7 3 7 − 4



7

( − 1)k ( ) a 7
k

7

− k

bk

k

=7 − 1 2 =

=

3



( − 1) 3 ( ) a 7

− 3

b3

=



7! a4 b3 3! × 4! 7! a3 b4 4! × 3!

=

− 35 a 4 b 3

k

7 + 1 2

=

4



( − 1) 4 ( ) a 7
4

b4

=

=35 a 3 b 4

∴ Los términos centrales son – 35 a 4 b 3 y 35 a 3 b 4 .

COEFICIENTE DE UNA POTENCIA Ejemplo: Calcule el coeficiente de x 5 en el desarrollo de ( 3 x 2 + 2 x ) 4 . Respuesta:...
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