Teorema del binomio

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BINOMIO DE NEWTON
La fórmula del binomio de Newton sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.

(a+b)ⁿ = aⁿ + naⁿ⁻ⁱb+ ⁿ(ⁿ⁻ⁱ) aⁿ⁻²b²+ ⁿ(ⁿ⁻ⁱ)(ⁿ⁻²)aⁿ⁻³b³+… bⁿ2! 3!
Donde:
2! : 2x1
3! : 3x2x1
Y así sucesivamente.
El símbolo “!” es nombrado factorial e indica lamultiplicación de el numero por los antecesores de este en números enteros positivos. Por ejemplo
*2!= 2x1
*3!= 3x2x1
*4! = 4x3x2x1; etc.
Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia (a + b)ⁿ comouna suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Pascal.
Por binomio de Newton se suele entender cualquier expresión de tipo:
Los casos más sencillos sesuelen aprender de memoria en los cursos de educación básica:
Se puede generalizar el binomio utilizando los llamados coeficienes combinatorios , representados habitualmente como y que se puedenrecordar a partir de la siguiente pirámide visual, llamada triángulo de Pascal:



Se puede ver que cada número es la suma de los dos que están inmediatamente por encima de él.

PotenciasDesarrollos Coeficientes
(a + b)1 a + b 1
(a + b)2 a2 + 2ab + b2 1 2 1
(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab3 + b2 1 3 3 1
(a + b)4 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 6 4 1

Se observa que:
• Loscoeficientes de los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son, respectivamente, los números de las filas tercera; cuarta y quinta del triángulo de Pascal.
• Los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a +b)4 son polinomios completos y ordenados en a y b, decrecientes respecto de a y crecientes respecto de b.
• El grado de cada uno de los monomios (suma de los exponentes de a y b) es, en cada caso,igual al exponente de la potencia.
Estas observaciones son válidas para cualquier exponente.
Así, desarrollando los binomios es como se resuelve el binomio de Newton…
¿Para que funciona?
-En...
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