Teorema del límite central

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DOCUMENTO 2: TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Cuando deseamos resolver problemas de Estadística Descriptiva e Inferencial II para variables continuas tenemos que contestar una pregunta importante: ¿la población a estudiar se distribuye en forma normal o no? En otros términos, ¿la forma de la curva de frecuencias sigue el “patrón” de la campana de Gauss? En la respuesta está parte de la solución.Si los datos se distribuyen en forma normal el tamaño de muestra puede ser pequeño (n < 30) o grande (n ≥ 30) -empleándose en el primer caso una distribución especial llamada t de Student para el cálculo de probabilidades-; pero si la distribución no es normal o aproximadamente normal, ¿qué debemos hacer para resolver un problema? La respuesta a la pregunta la da el Teorema del Límite Central oTeorema Central del Límite como también se le llama. Este teorema es tal vez el más importante de la Estadística Inferencial y nos asegura simplemente que:

el tamaño de la muestra”1.

“La distribución de muestreo de la media se aproxima a la (distribución) normal al incrementarse

Los autores del libro citado al pie complementan la información con lo siguiente: “Los estadísticos

utilizanla distribución normal como una aproximación a la distribución de muestreo siempre que el tamaño de muestra sea de al menos 30, pero la distribución de muestreo puede ser casi normal con muestras de incluso la mitad de ese tamaño. La importancia del teorema del límite central es que nos permite usar estadísticos de muestra para hacer inferencias con respecto a los parámetros de población sin sabernada sobre la forma de la distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener de esa muestra”2.
Por otra parte, en su libro “Introducción a la Estadística” 3 los profesores Arnold Naiman, Robert Rosenfeld y Gene Zirkel nos dan un enfoque más amplio de este teorema en la forma siguiente:

“En muchas circunstancias, la distribución de las medias de gran cantidad demuestras tomadas de una población tiene, en teoría, tres características: 1. La forma es normal. 2. La media μm es igual a la media de la población original, 3. La desviación estándar es más pequeña que la correspondiente a la población original. Lo pequeña que sea depende del tamaño de la muestra.  pop m 
n

μm = μpop

1 2

Levin, Richard I. y Rubin, David S. Estadística para Administradores.Editorial Pearson, 6ª. Edición, pp. 338. Idem. 3 Naiman, Arnold, et all. Entendiendo Estadística. Editorial McGraw Hill, México 1988, pp.38.

2

La exactitud con que se cumple el teorema en una aplicación particular depende principalmente de dos factores: 1. El tamaño n de cada una de las muestras. En teoría, cuando más grande es una muestra más cercana se encuentra la distribución de unadistribución normal. Para muchas aplicaciones una muestra cuyo tamaño es mayor que 30, llevará a una distribución de medias muy cercana a la normal, de manera tal que los cálculos basados en valores correspondientes a una distribución normal proporcionarán resultados favorables. 2. La “forma” de la distribución original. Si la distribución de la población es muy parecida a la normal, entonces puedenutilizarse muestras de menor tamaño y esperar que las medias muestrales tengan, en forma aproximada, una distribución normal. En muchas aplicaciones estadísticas, las poblaciones son de tal naturaleza que se puede suponer que el teorema se verifica.
Finalmente, en el texto “Estadística Descriptiva e Inferencial II” 4, del matemático Víctor Sánchez se establece el Teorema del Límite Central enlos siguientes términos:

“Si se extraen todas las posibles muestras de igual tamaño(n) de una población dada que tiene media μpop y desviación típica σpop, el Teorema del Límite Central indica que: La distribución de las medias muestrales μm se distribuye aproximadamente en forma normal con media μpop y su desviación estándar será más pequeña que la desviación estándar de la población de...
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