Teorema del Limite central
El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de nvariables aleatorias independientes, entoncesla función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurrecuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.1 2
Definición
Sea la función de densidad de la distribución normal definida como1
con una media µ yuna varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es , a la distribución se le conoce comonormal estándar.
Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamentedistribuidas, y con una media µ y varianza σ2finitas (σ2≠0):
de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil lacomprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como
para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, lasvariables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:
donde Pr( )indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.
Enunciado formal
De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:3
Teorema del límite central: Sea , , ..., unconjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ2 distinta de cero. Sea
Entonces
.
Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn enfunción de la media muestral ,
puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:4 5
Teorema (del límite central): Sea , , ..., un conjunto de...
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