Teorema del residuo
Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).
Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:f(x) = (x-2)(x+3) + 4
Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).
El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vezque reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:
f(x) = (x-1)(x+2)
Como se muestra, (x-1) es un factor
Evaluación de la integral definida
La integración definida, utiliza el teorema fundamental del cálculo, para resolver integrales de la forma:
Donde: a = Límite inferior y b = Límite superior.
A diferencia de la integración indefinida,en la integración definida se obtiene un resultado numérico, que se obtiene al integrar la expresión dada, evaluar los límites y hacer la sumatoria de los resultados obtenidos luego de la evaluación.
En integración definida se plantean integrales que - por lo general – se resuelven aplicando los métodos ya expuestos. Por esta razón, es conveniente que el lector haya estudiado - responsablemente -los cinco métodos anteriores, puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación detallada de esos contenidos.
Ejemplo 1
Resolver la siguiente integral:
Solución
Método a emplear: Integración Definida.
Regla de integración: Teorema fundamental del cálculo(TFD)
Desarrollo:
Aplicando propiedades de la potenciación, setiene que:
Integrando (1), y aplicando el TDF, se obtiene:
Por lo tanto, la respuesta final, viene dada por:
Ejemplo 3
Resolver la siguiente integral:
Solución
Método a emplear: Integración Definida.
Regla de integración: Teorema fundamental del cálculo(TFD)
Desarrollo:
Aplicando propiedades de los O.L., se tiene que:
= (1) Integrando (1), se puede escribir que:
=
Ahora, se aplica de teorema fundamental del cálculo, obteniéndose:
=
Efectuando las operaciones indicadas, se tiene que:
=
Por lo tanto, la respuesta final, viene dada por:
Teoremas especiales para la evaluación de integrales
Primer teorema fundamental del cálculo[editar]
Dada una función f integrable sobre el intervalo ,definimos F sobre por . Si f es continua en [a,b] , entonces F es derivable en y .
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.
Demostración[editar]
Lema[editar]
Sea [[]] integrable sobre y
Entonces
Demostración[editar]
Por definición se tiene que .
Seah>0. Entonces .
Se define y como:
,
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Por lo tanto,
Sea . Sean
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
entonces,
.
Puesto que , se tiene que
.
Y como es continua en c se tiene que
,
y esto lleva a que
.
Ejemplos[editar]
También se puede exigir que f(x) sea continua en solo en un punto cualquiera C perteneciente a[a,b] y no necesariamente todo el intervalo, por otro lado existe otro teorema que algunos matemáticos lo adoptan como segundo teorema fundamental de el cálculo, el cual no exige continuidad en [a,b] solo integrabilidad, lo que lo hace es mucho mas fuerte que el primero, pero a fines prácticos no posee diferencias destacables a causa del selectivo rango de funciones elementales con las cuales...
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