Teorema del resto

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-TEOREMA DEL RESTO.
El teorema del resto es un método por el cual podemos obtener el residuo de una división algebraica pero en el cual no es necesario efectuar división alguna. Nos permite de esta forma averiguar el resto de la división de un polinomio p(x) entre otro de la forma x-a por ejemplo. Se deduce de este teorema que un polinomio p(x) es divisible entre x-a sólo si a es una raíz delpolinomio, únicamente si y sólo si p(a) =0.

Como se aplica:
Si C(x) es el cociente y R(x) es el resto de la división de un polinomio cualquiera p(x) entre un binomio que sería (x-a), aplicamos el algoritmo de la división:
P(x) = C(x) • (x – a) + R(x)
Entonces el valor numérico de p(x), para x=a, será igual al resto de su división entre x-a. Entonces diremos que:
P(a) = C(a) • (a – a) + R(a) =R(a)
Por ejemplo el resto de la división de un polinomio:

Entre x-2 , dará como resultado el polinomio:

Aquí vemos que esta división no es exacta y por lo tanto x-2 no es un divisor de p (x)

EJEMPLO:
Tenemos el polinomio
Al dividir p(x) entre x − 2 obtenemos el cociente :

Entonces podemos asegurar que :

TIPOS DE FACTORIZACION

* FACTOR COMÚN (monomio)
Procedimiento:
1°Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)
2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.
Ejemplos:


* FACTOR COMÚN POR GRUPOS
Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.
Procedimiento
1° Paso: Se forman grupos de igual cantidadde términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.
2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.
3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.
Ejemplo:

* TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”

Procedimiento:
1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.
Ycalculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,
3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:
* Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.
* Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.
Ejemplo:
1)

* CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Recuerdo: “Cubo de unBinomio”

Procedimiento:
1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos
Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso:
Luego calculo:
* el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda
* el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda
Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado,
3° Paso: Si estos cálculosfiguran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.
OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:
Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.
Ejemplo:
1)

* DIFERENCIA DE CUADRADOS
Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados

Procedimiento:
1° Paso: Debo identificar la resta(debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.
2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)
3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.
Ejemplo:
 
Trinomio de la forma x^2 +bx +c.
Para poder factorizar un trinomio de esta forma

se deben cumplir...
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