Teorema del valor medio - soneck

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TEOREMA DEL VALOR MEDIO

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de LaGrange), también llamado teorema de los incrementos finitos , teorema de Bonnet-LaGrange o teoría del punto medio esuna propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el másimportante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolverproblemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para probar otros teoremas.El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

ENUNCIADO PARA UNA VARIABLE

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continuaen el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secanteque une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló LaGrange.
El teorema del valor medio de LaGrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que siuna función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entoncesexiste al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

DEMOSTRACION
El conocimiento del significado de la derivada de unafunción en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:



Donde los pares de puntos y son una pareja...
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