Teorema del valor medio

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TRABAJO FINAL

ANALISIS MATEMATICO I

TEMA: TEOREMA DEL VALOR MEDIO

PROFESOR: GUILLERMO CORONADO

ALUMNA: PRISCILA CORONADO

TEOREMA

DEL

VALOR MEDIO

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

El Teorema del Valor medio es uno de los masimportantes dentro del Calculo Diferencial, fue establecido por Joseph Lagrange, quien realizo grandes colaboraciones a la teoría de los números.

Dicho Teorema establece que, sea f una función derivable real que satisface las siguientes propiedades:

1) f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
2) f es derivable en el intervalo abierto (a,b).

Es decir si f es una funcióndiferenciable sobre el intervalo [a,b], entonces existe un Nº c entre a y b tal que:

1) f`’( c ) = f (b) – f (a)
b – a

o lo que equivale,

2) f (b) – f (a) = f ’ (c) (b – a)

En el lenguaje genérico el Teorema del Valor Medio es fácil de establecer y de comprender. Dice que si la grafica de una función continua tiene una tangente No vertical en todo puntocomprendido entre A y B, entonces hay por lo menos un punto C en la grafica comprendida entre A y B, en el que la tangente es paralela a la recta secante AB.

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Como ya vimos, este teorema es razonable si lo interpretamos geométricamente. En la figura 1 y 2 se muestran los puntos A(a; f(a)) y B(b; f(b)) sobre las graficas de 2 funciones diferenciables

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La pendiente de la rectasecante AB es:

mab = f(b) – f(a)
b - a

la cual es la misma expresión del primer miembro de la ecuación 1. Puesto que f ’(c) es la pendiente de la recta tangente en el punto (C; f(c)). El TVM, en la forma dada por la ecuación 1, expresa que existe por lo menos un punto P(C; f(c)) sobre la grafica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la de la recta secante AB.En otras palabras, existe un punto P donde la recta tangente es paralela a la recta secante AB. En la figura 1 parece claro que existe uno de esos puntos C y dos de ellos, p1 y p2, en la figura 2.

Ejemplo 1: Si un objeto se mueve en una línea recta con función de posición S= f(t), entonces la velocidad promedio entre t = a y t = b es:

f (b) – f (a)
b - a

y la velocidad en t = c es f‘(c). De este modo el Teorema del Valor Medio dice que en algún instante t = c, entre a y b, la velocidad instantánea f ‘ (c) es igual a esa velocidad promedio. Por ejemplo, si un automóvil recorrió 180 Km. en 2 hs, entonces el velocímetro debió indicar por lo menos 90 Km. por lo menos una vez.

El significado principal del TVM es que permite obtener información acerca de una función a partir dela información de su derivada.

Demostración del TVM

La expresión f (b) – f (a) es la pendiente de la recta secante que une los puntos (a; f(a))
b – a
y (b; f(b)). Queremos probar que un punto x = c en la recta tangente tiene la misma pendiente, o sea es paralela a esa recta secante.

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En primer lugar la recta secante que une a (a; f(a)) y (b; f(b))tiene pendiente:

m = f (b) – f (a)
b - a

La ecuación de la recta es por lo tanto

y – f(a) = m (x – a)

Definimos la función inclinada g como la diferencia entre los valores de f y la secante.

g(x) = f(x) - [m (x – a) + f(a)]
Como f es continua en [a,b] y derivable en (a, b), también g lo es. Además:

g(a) = f(a) - [0 + f(a)] = 0

y

g(b) = f(b) - [m (b-a) + f(a)]= f(b) - [f(b) – f(a) + f(a)] = 0

Porque:

m = f(b) – f(a)
b - a

* Observacion: el Teorema de Rolle es similar, se dferencian porque aquí no se exige f(a) = f(b). Si esto se diera se reduce al Tª de Rolle.

Al ser g(a) = g(b) (Tª Rolle), existe un c en (a, b) tal que g’(c) = 0. Derivamos:

g(x) = f(x) - [m (x –a) + f(a)]...
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