Teorema del valor medio

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1. a) Una caja rect ´angular abierta con volumen de 2m3, tiene una base cuadrada. Exprese el
´area superficial de la caja como funci ´on de la longitud de uno de los lados de la base.
b) Se inflaun bal ´on esf ´erico y el radio del mismo se incrementa en una cantidad de 2 cm/s.
i) Exprese el radio r del bal ´on como funci ´on del tiempo t (en segundos).
ii) Si V es el volumen del bal ´oncomo una funci ´on del radio, halle V ◦ r.
2. a) Sean f y g funciones lineales con ecuaciones
f(x) = m1x + b1 y g(x) = m2x + b2 ¿Es f ◦ g
una funci ´on lineal? Si es as´ı, ¿cu´al es el valor
de supendiente?
b) En la figura se muestra la gr ´afica de f. Dibuje
la gr ´afica de la funci ´on y = f−1(x + 3).
y
0 1 x
1
3. La poblaci ´on de cierta especie en un ambiente limitado, con poblaci ´oninicial 100 individuos y
que soporta una capacidad de 1000 individuos, est ´a dada por P(t) =
100000
100 + 900e−t donde t se
mide en a˜nos. Encuentre la inversa de la funci ´on y ´usela paraencontrar el tiempo requerido
para que la poblaci ´on llegue a 900 individuos.
4. Determine si la proposici ´on es verdadera o falsa. Si es verdadera, expl´ıque por qu´e. Si es falsa,
expl´ıque por qu´eo d´e un ejemplo que refute la proposici ´on.
a) tan−1(x) =
sen−1(x)
cos−1(x)
.
b) Siempre se puede dividir entre ex.
c) Si f(s) = f(t) entonces s = t.
d) Si f es una funci ´on entonces f(3x)= 3f(x).
e) Si 0 < a < b entonces ln(a) < ln(b).
1.
a)
x
y
V = 2m3
Abase = x2
Asuperficial = 4xy + x2
Como V = x2y = 2, entonces y = 2/x2.
Reemplazando en el ´area superficial se
obtieneAsuperficial = 4x 2
x2 + x2 =
8
x
+ x2 =
8 + x3
x
.
b)
r
i) r (t) = 2t.
ii) V (r) = 4
3r3
(V ◦ r) (t) = V (r (t)) = V (2t) =
4
3
 (2t)3 =
4
3
 8t3 =
32
3
t3.
2. a) f (x) =m1x + b1, g (x) = m2x + b2.
(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (m2x + b2) = m1 (m2x + b2)+b1 = m1m2x+m1b2+
b1
Por tanto (f ◦ g) (x) es una funci ´on lineal con pendiente m = m1m2.
b)
y
0 1 x
1
f...
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