Teorema espestral para proyectar espacios en otros espacios

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Teorema Espectral Una aplicación más de los operadores es el conocer cómo podemos descomponer (proyectar) un operador normal. Se puede descomponer un operador normal T expresándolo como unacombinación lineal de ciertos operadores conocidos como proyecciones ortogonales. Para tal efecto es necesario contar con algunos conceptos que nos ayuden a comprender a lo que conocemos como Teorema Espectral.El primer concepto a considerar es el concepto de proyección. Veremos ahora como se puede “descomponer” un operador normal T, expresándolo como combinación lineal de ciertos operadores conocidos comoproyecciones ortogonales. Introduciremos algunos conceptos y resultados que son necesarios, empezando con el de proyección. Definición Sea V un espacio vectorial y sea subespacio de V tal que: V= y =+ , donde y V definido por © un subespacio de V. Si existe un

Entonces el operador P: V P(v) para todo V

Se llama la proyección sobre

a lo largo de

Cabe hacer notar que para estadefinición al subespacio fijo puede existir más de un subespacio , de tal forma que el término “a lo largo” proporciona al operador P la unicidad requerida así pues para la interpretación geométrica que acontinuación se presenta.

Se puede interpretar geométricamente como la proyección vectorial de un subespacio V sobre otro subespacio . Teorema Sea V un espacio vectorial y sea y operador P: V → V esla proyección de cumpliría lo siguiente: P(v)= N(t)= Recorrido Nucleo mientras dos subespacio de V. Si el a lo largo de entonces se

Cabe hacer notar que el recorrido de P será el subespacio que elnúcleo estará representado por el subespacio .

Un caso especial con respecto a las proyecciones se tiene cuando el subespacio es el complemento ortogonal de . En este caso la proyección recibe elnombre de proyección ortogonal o simplemente proyección. Definición Sea V un espacio vectorial con producto interno, W un subespacio de Vy el complemento ortogonal de w. Si = + ´ donde wy ´ . Por lo...
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