teorema fundamental del calculo
Páginas: 4 (885 palabras)
Publicado: 20 de junio de 2014
Teorema Fundamental del Cálculo
Cuando uno llega por primera vez al inicio de este teorema ya a intuido una relación entre el cálculo diferencial e integral. Uno creería que no hay relación ya quecomo el primero es pendiente de la recta tangente y el segundo área bajo la curva. Pero de hecho hay una relación muy íntima, que fue descubierta independientemente por Isaac Newton (1630-1677) yGottfried Leibniz (1646-1716) el cual recibe el nombre del teorema fundamental del cálculo. En particular, ellos advirtieron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas eintegrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas. Informalmente se puede decir también que el teorema afirma que la derivación y la integración son operaciones mutuamente inversas.
Para vercómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que se muestran en la figura 1 y la figura 2. Cuando se define la pendiente de la recta tangente, utilizamos elcociente (Pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de un región bajo una curva, usamos el producto ΔyΔx (Área de un rectángulo). Así pues, es su primer paso derivación e integraciónson operaciones inversas ( División y Multiplicación). El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial deinversas.
Interpretación geométrica
El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valoresson aproximadamente iguales para valores pequeños de h.
Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentidode manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva...
Cuando uno llega por primera vez al inicio de este teorema ya a intuido una relación entre el cálculo diferencial e integral. Uno creería que no hay relación ya quecomo el primero es pendiente de la recta tangente y el segundo área bajo la curva. Pero de hecho hay una relación muy íntima, que fue descubierta independientemente por Isaac Newton (1630-1677) yGottfried Leibniz (1646-1716) el cual recibe el nombre del teorema fundamental del cálculo. En particular, ellos advirtieron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas eintegrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas. Informalmente se puede decir también que el teorema afirma que la derivación y la integración son operaciones mutuamente inversas.
Para vercómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que se muestran en la figura 1 y la figura 2. Cuando se define la pendiente de la recta tangente, utilizamos elcociente (Pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de un región bajo una curva, usamos el producto ΔyΔx (Área de un rectángulo). Así pues, es su primer paso derivación e integraciónson operaciones inversas ( División y Multiplicación). El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial deinversas.
Interpretación geométrica
El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valoresson aproximadamente iguales para valores pequeños de h.
Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentidode manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva...
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