Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera lafunción original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.[editar] Enunciado de los teoremas

Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] porF(x) = \int_a^x f(t)\, dt.

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea funa función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

\int_a^bf(t)\, dt = F(b) - F(a).

Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

F(x) = \int_a^x f(t) \, dt

es una primitiva def en [a, b]. Además,

\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).
Integrales de formas diferenciales
Artículo principal: Forma diferencial

Una forma diferencial es un concepto matemático en loscampos del cálculo multivariable, topología diferencial y tensores. La notación moderna de las formas diferenciales, así como la idea de las formas diferenciales como el producto exterior dederivadas exteriores formando un álgebra exterior, fue presentada por Élie Cartan.

Se empieza trabajando en un conjunto abierto de Rn. Una 0-forma se define como una función infinitamente derivable f.Cuando se integra una función f sobre un subespacio de m-dimensional S de Rn, se escribe como

\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m.

(Los superíndices no son exponentes.) Se puede considerar que dx1...