Teorema limite central

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TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
 
Si se obtiene una muestra de una población normal, entonces la media muestral tiene una distribución normal sin importar el tamaño de la muestra. Sin embargo, se puede demostrar que de hecho no importa el modelo de probabilidad del cual se obtenga la muestra; mientras la media y la varianza existan, la distribución de muestreo de (X se aproximará auna distribución normal conforme n aumente. Lo anterior constituye uno de los más importantes teoremas en inferencia estadística y se conoce como TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL.
En muchos casos, puede concluirse en forma segura que la aproximación será buena mientras n > 30.
 
Para mostrar la validez del teorema del limite central veamos el siguiente ejemplo
 
Suponga que deuna población consistente en los valores 0, 2, 4, 6 y 8, se toman muestras de tamaño 2 con remplazo.
 
|X |Frecuencia |Frecuencia Relativa |
|0 |1 |1/5 = .2 |
|2 |1 |1/5 = .2 |
|4 |1 |1/5 = .2 |
|6 |1 |1/5 = .2|
|8 |1 |1/5 = .2 |

 
Solución:
 
1. 1. Paso
Se calcula la media poblacional, la varianza y desviación estándar poblacional.
[pic]
 
[pic] = [pic]
 
 
[pic]
 
[pic]
 
2. Paso
 
Gráfica de la distribución de frecuencia para la población
 
 
 
[pic]
 
 
 
Esta gráfica no puede considerarseacampanada o normal.
 
3. Paso
Se toman muestras de tamaño dos con remplazo.
 
|Muestra |[pic] |Muestra |[pic] |Muestra |[pic] |
|0, 0 |0 |4, 0 |2 |8, 0 |4 |
|0, 2 |1 |4, 2 |3 |8, 2 |5 ||0, 4 |2 |4, 4 |4 |8, 4 |6 |
|0, 6 |3 |4, 6 |5 |8, 6 |7 |
|0, 8 |4 |4, 8 |6 |8, 8 |8 |
|2, 0 |1 |6, 0 |3 | |  |
|2, 2 |2 |6, 2 |4 |  |  |
|2. 4 |3 |6, 4 |5 |  |  |
|2, 6 |4 |6, 6 |6 |  |  |
|2, 8 |5 |6, 8 |7|  |  |

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Paso
Se agrupa a las medias muéstrales en la tabla de frecuencia siguiente:
 
|[pic] |F |
|0 |1 |
|1 |2 |
|2 |3 |
|3 |4 |
|4 |5 |
|5 |4 |
|6 |3 |
|7 |2 |
|8 |1 |

 
5. Paso
Se calcula lamedia poblacional de medias , la varianza de la medias y desviación estándar de las medias ó error estándar de las medias.
 
[pic]
 
[pic]
 
[pic]
 
[pic]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 6.      Paso
Gráfica de la distribución de frecuencia para la población de medias maestrales
 
[pic]
 
7. Paso
ConclusiónDe la apariencia acampanada de la distribución de las medias, concluimos que es razonable aproximar la distribución muestral de [pic] por una distribución normal, una vez que se conoce la media y la desviación estándar de la distribución muestral.

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables...
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