Teorema rolle y valor medio.

Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un número c en (a,b).
Es decir:
Sif es una función en la que se cumple:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0
Entonces, existe unnúmero c que pertenece a (a, b) tal que
f '(c) = 0

Ejemplos:
1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los númerosc en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.
Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en elintervalo (-2,2). Además,
f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8   y,  f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8.  Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8.
Luego, f’(x) = 4x3 - 4x
= 4x(x2 - 1)
= 4x(x + 1)(x - 1)
Porlo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos(0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.

Teorema del valor medio: Si f es una función continua en [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que:Es decir:

Si f es una función en la que se cumple que:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe unnúmero c que pertenece a (a, b) tal que
Imagen de mapa de bits

Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema de Rolle secumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle.
En los ejercicios 4 a 9, compruebe que la hipótesis del...