Teorema routh

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Teorema de Routh-Hurwitz
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El teorema de Routh–Hürwitz sirve para comprobar la estabilidad de los sistemas dinámicos.
Tal criterio busca las raíces del denominador de la función de transferencia del sistema y las coloca en el semiplano izquierdo o derecho, determinando así la estabilidad del mismo. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos lospolos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable.
Este criterio solo vale si la función de transferencia del sistema está en lazo cerrado, si no lo esta, hay que realimentarlo haciendo:

Procedimiento
Dado el sistema:

donde G (s) es la ecuación característica de un sistema.

El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1, …, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio deRouth – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismo signo, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será asintóticamente inestable. Como está indicado arriba, tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.
Ejemplo: G(s) =s4 + 5s3 + 3s2 + s + 2

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.
Degeneraciones
Hay dos casos de degeneraciones:
* En la primera, el primer elemento de una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva sustituyendo el 0 por “ε” (númeroinfinitesimalmente positivo), y se continua calculando. Luego a la hora de comprobar los cambios de signo se deja el 0 que sustituimos y donde nos aparezca “ε” calculamos el limite cuando ε tiende a 0.
* En la segunda, toda una fila de la tabla es 0. Esta degeneración se salva montando la polinomio auxiliar de la fila inmediatamente superior a la que nos apareció la fila de ceros. A esta ecuaciónse le hace la derivada y lo que nos de se sustituye en la fila de ceros, pudiendo así continuar calculando. Al igual que en la anterior degeneración, para comprobar los cambios de signo se deja el 0 que nos apareció.
Si en el denominador de la función de transferencia del sistema tenemos una incógnita, se calcula de igual forma todo el criterio de Routh – Hürwitz y en las filas de la primeracolumna en la que nos aparezca la incógnita deberá ser su resultado mayor a 0, resolvemos las inecuaciones y cogemos los resultados más restrictivos, siendo estos los que nos determinen que el sistema sea estable.
Finalmente se puede comprobar haciendo Ruffini, y observaremos que en los que nos dio un 0 nos saldrá una par de polos complejos conjugados, si la parte real es negativa el par de poloscomplejos es estable, sino no se sabe si lo es.
Ejemplo primera degeneración: G(s) = s4 + s3 + 2s2 + 2s + 3

Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 1, 0, -α, 3, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.
Ejemplo segunda degeneración: G(s) = s4 + 3s3 + 3s2 + 3s + 2

Esto nos da como resultado en la primeracolumna: 1, 3, 2, 0, 2, con lo que la fila 4 es un línea de ceros la cual indica una oscilacion permanete,es decir en el limite de la estabilidad.
SYS en el limite de la estabilidad
En el limite de la estabilidad, a través del teorema de Routh podemos saber si el sistema se encuentra en otro estado que no sea estable o inestable, y este es si se encuentras en el límete de la estabilidad, es decirse produce una oscilacion mantenida,incluso en estado estacionario esta oscilacion se mantendrá.
Esto se produce cuando en nuestar tabla de routh alguna linea se puede hacer 0 y no haya ningún cambio de signo en nuestra primera columna. En este caso el sistema se encuentra en el limite de la estabilidad, esto representa en el plano complejo dos polos conjugados en el eje imaginarios (sin parte...
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