Teorema

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Homotecia
Definición
Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.
Homotecias de centro el origen de coordenadas
En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad larelación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx    y´=ky
Teorema de Tales. Semejanza de polígonos
Teorema de Tales
Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes dela otra. En el ejemplo de la escena Descartes siguiente tres rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s y puede comprobarse en todo momento qué valor alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes, que son siempre iguales.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si lostriángulos ABC y A´B´C´ son semejantes se verifica:
A=A´    B=B´    C=C´        AB/A´B´=BC/B´C´=CA/C´A´=razón de semejanza
ESCALAS
La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos.Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.
Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es:
E = dibujo / realidad
Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala deampliación, y será de reducción en caso contrario.
Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillo método gráfico para aplicar una
escala.
   Véase, por ejemplo, el caso para E 3:5
1º) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y
s formando un ángulo cualquiera.
2º) Sobre la recta r se sitúa el denominador de la escala
(5 en este caso) y sobre la recta s el numerador(3 en este caso). Los extremos de dichos segmentos son A y B.
3º) Cualquier dimensión real situada sobre r será convertida en la del dibujo mediante una simple paralela a AB.
Efecto del dibujo a escala sobre las magnitudes lineales, el área y volumen

para conocer el efecto que produce el dibujo a escala sobre las magnitudes lineales, se analizará lo que ocurre cuando se amplía unrectángulo de dimensiones a y b hasta obtener un rectángulo de dimensiones ka y kb.
    
Obsérvese la relación que se establece entre el perímetro P del rectángulo original y el perímetro P´ del rectángulo ampliado:
  P = 2a + 2b
y que P´ = 2(ka) + 2(kb)
     Factorizando k, se obtiene:
P´ = k(2a + 2b)
     Sustituyendo P´ = 2a + 2b, se llega a P´ = kP.
     El perímetro P se transformó igual quela base y la altura del rectángulo.

     A continuación se verá si ocurre lo mismo con las áreas.
A = abA´ = (ka) + (kb)A´ = k2abA´ = k2(A) |

     Si las longitudes se transforman con una escala k, entonces el área se transforma con una escala k2.
     Véase lo que ocurre con la longitud de una circunferencia y con el área de un círculo:
     Supóngase que el radio del círculo setransformó con una escala de k <1.

     Si se comparan las dos medidas de las circunferencias, se tiene que:

     La longitud de la circunferencia se transformó con una escala igual que la de la modificación del radio.
     Para las áreas se tiene:

     Nuevamente se observa que la razón o escala de las áreas es el cuadrado de la escala con la que se transforman las longitudes.
    ...
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