Teoremaa

TEOREMA DE EXISTENCIA PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente adicho intervalo, para el que se verifica:
El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].
Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puedeno ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervaloconsiderado. Se trata de un concepto diferente.
3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Reglade Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones deintegración sencilla.
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2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximaciónvamos a escoger una función que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema.
La función objeto de nuestroestudio va a ser la siguiente:
Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en que sealcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.
El trazo azul indica el conjunto de valores que toma lafunción en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un...