Teoremas de funciones derivables y continuas

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Teoremas de funciones derivables y continuas
Teorema de Rolle
Si una función es: Continua en [a, b] Derivable en (a, b) Y se cumple que f(a) = f(b) Entonces, existe algún punto c (a, b) en el quef'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas. Ejemplos 1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle enel intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

Como las derivadaslaterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x 2) en el intervalo[−2, 2]?
1

En primer lugar calculamos el dominio de la función.

La función es continua en el intervalo−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están [ contenidos en .

Además secumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real. La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua yderivable en Teorema de Bolzano. f(−1) = −1 f(0) = 3 Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0). Teorema de Rolle. f' (x) = 7x6 + 3 Como la derivada no se anula en ningún valorestá en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real. ·

Teorema de Lagrange o del valor medio
Si una función es: Continua en [a, b] Derivable en (a, b) Entonces,existe algún punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante. El teorema de Rolle es un casoparticular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).

2

Ejemplo ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [−1, 2]? f(x) es continua en −1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se...
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