Teoremas sobre limites

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Teoremas fundamentales sobre límites. Otros ejemplos de funciones continuas
El cálculo con límites puede simplificarse con frecuencia con el teorema siguiente que proporciona unas reglas básicaspara operar con límites.

TEOREMA 3.1. Sean f y g dos funciones tales que
lim f(x) = A, limg(x) = B.
x~p x~p
Se tiene entonces
(i)lim [f(x) + g(x)] = A + B,
x~p
(ii) lim [f(x) - g(x)] = A - B,
x~p

(iii) lim f(x). g(x) = A . B,
x~p
(iv) limf(x)/g(x) = A/B si B # O.
x~p

Nota: Un caso particularimportante de (iii) se presenta cuando f es constante, es decir f(x) ==A para todo x. En este caso, (iii) se escribe
lim A . g(x) = A . B.
X~p
La demostración del teorema 3.1 no es difícil, pero esalgo larga, por 10 que la hemos colocado en otra sección (Sección 3.5). Aquí comentamos algunas consecuencias sencillas del teorema.
Observemos primero que las afirmaciones del teorema puedenescribirse en forma un poco distinta. Por ejemplo, (i) puede ponerse como sigue:
lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) .
x~p x~p x~p

Esto nos dice que el límite de una sumaes la suma de los límites.
Es costumbre indicar por f + g, f - g, f .g y f / g las funciones cuyos valore para cada x son:
f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) . g(x), y f(x)/ g (x), respectivamente.Estas funciones se denominan suma, diferencia, producto y cociente de f y g. Se entiende que el cociente f / g sólo está definido en los puntos en los que g(x) #O. El siguiente corolario al teorema 3.1,está formulado con esta terminología y notación y se refiere a funciones continuas.

3.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre límites
En esta sección demostramos el teorema 3.1 que dalas reglas fundamentales para calcular límites de sumas, productos, y cocientes. Los recursos algebraicos principales que se utilizan en la demostración son las dos propiedades de los valores...
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