Teoremas

Teoremas sobre límites
Teorema
Unicidad del límite de una función
Si una función tiene límite es único.

H) Existe limx->af(x)=b
T) b es único
Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1/ para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple
* f(x) pertenece a Eb,ε
*f(x) pertenece a Ec,ε
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.
Definición
Límites laterales
Límite de f(x) en el punto a por la derecha :
limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).
A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, peroson continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.
Ejemplo
f(x) = x2 si x <= 2
-2x + 1 si x > 2
|     | limx->2-f(x)=4
limx->2+f(x)=-3
No existe limx->2f(x) |
Teorema
Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H)limx->af(x)=b
T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Demostración:
Directo:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.
=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a-f(x)=b.
y para todo ε> 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a+f(x)=b.
Recíproco:
limx->a+f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ2> 0 / para todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al Eb,ε.
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.
=> (por def. de límite) limx->af(x) = b.
Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x) ≠ limx->2+f(x).
Teorema
Conservación del signo
Para valores de x suficientemente próximos alvalor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.

H) limx->af(x)=b > 0
T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0
Demostración:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.
Es decir, b - ε < f(x) < b + ε.
Consideremos ε < b => 0 < b -ε < f(x) => f(x) > 0.
Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.

Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.
Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.
Teorema de la función comprendida
Si una función está comprendida entre...