Teoria Conjuntos

HISTORIA: TEORÍA DE CONJUNTOS
George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose enlos conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.
El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas,incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".
Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente.
La mejor prueba de quela teoría de conjuntos no ha logrado unificar a las matemáticas es que éstas se han ramificado en áreas muy diferenciadas, como la aritmética, el álgebra, la trigonometría y geometría; también se han separados distintos campos como el cálculo, la topología, la teoría de conjuntos, la teoría de los números y la estadística.



NOCION DE CONJUNTOS.

Entendemos como conjunto a unacolección de cualquier tipo de objetos llamados elementos del conjunto, que está determinado por una propiedad común de quienes lo forman y enunciada por medio de un lenguaje preciso.

Ejemplo: son conjuntos las siguientes colecciones:

a) Los hijos de Carmela: Marlon, Rocío y Daniel.

b) Los números naturales: 1; 2; 3;…; 20.

NOTACION DE CONJUNTOS.

Un conjunto se denota conletras mayúsculas (A; B; C…) y se representan mediante llaves: {}, en cuyo interior se anotan sus elementos, representados por letras minúsculas, separados por comas o punto y comas en el caso de ser números.

Ejemplo 1.- El conjunto formado por los hijos de Carmela del ejemplo anterior se pueden denotar así:

C= {Marlon, Rocío, Daniel}.

Interpretación: C es un nombre para el conjuntocuyos elementos son Marlon, Rocío, Daniel.

Ejemplo 2.- el conjunto de los números naturales del 1 al 20, se puede denotar como:

A= {1; 2; 3;…; 20}.

Interpretación: A es un nombre para el conjunto cuyos elementos son los primeros veinte (20) números naturales no nulos.

DETERMINACION DE CONJUNTOS.

Determinar a un conjunto es listar o indicar, sin ambigüedades, los términos ocondiciones mediante los cuales un elemento dado es o no integrante de dicho conjunto.

a) Por extensión o en forma tabular.

Un conjunto se determina por extensión cuando se listan, o enumeran, uno a uno sus elementos, o se da una fórmula que define la secuencia de estos.

Ejemplo.- determinar, por extensión, el conjunto A cuyos elementos son los números naturales impares menores que 9.Respuesta: A= {1; 3; 5; 7; 9}.

b) Por comprensión o en forma constructiva.

Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a ellos y que le es válida únicamente a estos.

Un conjunto por compresión se denota así:

A= {x│x tiene cierta propiedad}

Que se lee: A es el conjunto de todos los elementosX tal que X tiene cierta propiedad.

El símbolo │ (barra vertical) se lee: “tal que” y el símbolo “x” se llama variable.

Ejemplo: A= {x│x es un digito impar menor que 9}

RELACION DE PERTENENCIA.

Llamamos relación de pertenencia a la correspondencia que existe entre un objeto, llamado elemento, y un conjunto, de modo que el primero forma parte del segundo.

Si su...