Teoria De Colas

Tema 4. Proceso de Poisson. Procesos de Nacimiento y Muerte
Marzo 2006

1.

Proceso de Conteo

Un proceso estoc´stico {Nt }t≥0 es un proceso de conteo si Nt representa el total de a sucesos ocurridos hasta el tiempo t. Sean Ω un espacio muestral, P una probabilidad, ω ∈ Ω y t ≥ 0 → Nt (ω) es el n´mero de llegadas en el intervalo [0, t] para la realizaci´n u o ω, t → Nt (ω) es una funci´nescal´n. o o

Definici´n: El Proceso {Nt }t≥0 es Proceso de Conteo o 1. N0 = 0. 2. Nt ∈ N 3. s < t ⇔ → Nt ≥ 0 Ns ≤ Nt

4. Nt − Ns es el n´mero de llegadas en el intervalo [s, t]. u

1

De todos los procesos de este tipo, el m´s importante es el Proceso de Poisson, que a limita los saltos de la funci´n a saltos iguales. o Definici´n: Sea o(h) el infinit´simo de orden h, f es o(h) si l´ h→0 o eım ∀ε > 0 ∃δ > 0 Ejemplos: 1. La funci´n f (x) = x ≡ o(h) o 2. La funci´n cuadr´tica f (x) = x2 ≡ o(h) o a h2 = l´ h = 0 ım h→0 h→0 h l´ ım 3. La funci´n f (x) = xr con r > 1 es o(h) o hr = l´ hr−1 = 0 ım h→0 h h→0 l´ ım 4. Las funciones f , g son o(h), con c, d constantes, entonces la funci´n: cf + dg es o(h) o
h→0 f (h) h

= 0, esto es:

tal que si

|h| < δ

→

f (h) h

0 entoncesX tiene la o Propiedad de Markov: P [X ≤ t + h/X > t] = P [X ≤ h] como: P [X ≤ h] = 1 − e−λh = 1 − [1 − λh +
∞

(λh)2 + ...] 2!

= λh − (λh) entonces P [X ≤ t + h/X > t] = λh + o(h)

2 n=2

(−λh)n−2 = λh + o(h) n!

2

2.

Proceso de Poisson (de tasa o intensidad λ > 0)
Es un proceso de conteo {Nt }t≥0 que verifica:

1. Es de incrementos independientes y estacionarios 2. P [Nh =1] = λh + o(h) P [Nh ≥ 2] = o(h) por tanto P [Nh = 0] = 1 − λh + o(h) Proposici´n: Sea Y la variable aleatoria que describe el n´mero de llegadas (sucesos) o u en cualquier intervalo de longitud t en un proceso de Poisson {Nt }t≥0 de tasa λ, entonces Y es variable aleatoria Poisson de par´metro λt. a Demostraci´n o Sea Pn (t) = P {Nt = n} ∀n ∈ N Sea n = 0 P0 (t + h) = = = = P0 (t + h) − P0 (t) =l´ ım h→0 h luego con (Incrementos Independientes) P {0 llegadas en [0, t] ∩ 0 llegadas en [t, t + h]} P0 (t).P (Nt+h − Nt = 0) (Incrementos Estacionarios) P0 (t).P (Nh = 0) = P0 (t).[1 − λh + o(h)] o(h) −λP0 (t) + P0 (t). l´ ım h→0 h
d P (t) dt 0

= −λP0 (t) P0 (0) = 1 (condiciones iniciales)

Soluci´n de la ecuaci´n diferencial de variables separables o o P0 (t) = −λ.P0 (t) P0 (0) = 1 dedonde P0 (t) = e−λt

Sea ahora n > 0, entonces en el intervalo t + h ocurren n llegadas (sucesos), esto es {Nt+h = n} si: 1. suceden n en [0, t] y 0 en [t, t + h], 2. suceden n − 1 en [0, t] y 1 en [t, t + h], 3. suceden (n − k) en [0, t] y k en [t, t + h] con k = 2, . . . , n.

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Acumulando las probabilidades asociadas Pn (t + h) = Pn (t)[1 − λh + o(h)] + λhPn−1 (t) + o(h) entonces o(h) Pn (t+ h) − Pn (t) = −λPn (t) + λPn−1 (t) + h h tomando l´ ımites h → ∞ dPn (t) = −λPn (t) + λPn−1 (t) dt esto es la ecuaci´n diferencial o Pn (t) = −λPn (t) + λPn−1 (t) Pn (0) = 0 cuya soluci´n es o Pn (t) = e−λt .(λt)n n! 2

Corolario 1: El n´mero medio de llegadas en el intervalo [0, t] es λt, y el n´mero u u medio de llegadas en el intervalo [0, 1] es λ. Corolario 2: Estimaci´n de λ. o Por laLey de los Grandes N´meros u Nn N1 + N2 − N1 + ...Nn − Nn−1 = n n si n → ∞ entonces E[Ni ] = λ Nt luego l´ ım =λ t→∞ t Adem´s por el Teorema Central del L´ a ımite si λt → ∞ entonces: Nt V´lido para λt > 10. a Corolario 3: P {Nt+s − Nt = k/Nl , l ≤ t} Ejemplo P {N2,5 = 17, N3,7 = 22, N4,3 = 36} en un Proceso Poisson de tasa λ = 8. = P {Nt+s − Nt = k} → N (λt, λt)

P {N2,5 = = =

= 17, N3,7 = 22,N4,3 = 36} = P (N2,5 = 17).P (N3,7 − N2,5 = 5).P (N4,3 − N3,7 = 14) P (P oisson(8 × 2, 5) = 17).P [P oisson(8 × 1, 5) = 5].P (P oisson(8 × 0, 6) = 14) e−20 ,2017 e−9,6 ,9, 65 e−4,8 ,4, 814 . . 17! 5! 14! 4

aproximaci´n Poisson (λt) ≈ N (λt, λt) o Proposici´n: {Nt }t≥0 Proceso de Poisson de tasa λ. Sea τ ∼ variable aleatoria “tiemo po entre llegadas consecutivas”, entonces τ es una variable...