teoria de conjunto

Apuntes de
Teor´ de Conjuntos
ıa
por Enrique Arrondo(∗)

Versi´n del 20 de Marzo de 2012
o
Estas notas est´n basadas en el libro “Introduction to Set Theory”, de Karel Hrbacek y Thomas Jech,
a
donde el lector puede profundizar en los detalles (se recomienda vivamente la tercera edici´n, que mejora y
o
completa sustancialmente la segunda). Agradezco a los distintos alumnos de losdistintos cursos todas las
sugerencias y erratas que me han indicado para mejorar la presentaci´n de estas notas. Quiero agradecer
o
muy especialmente a Luc´ Mart´ Reyes y Ricardo Laorga Su´rez por pasarme listas sistem´ticas de
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a
a
erratas y sugerencias.

1. Primeros axiomas y propiedades
2. Los n´meros naturales
u
3. Sistemas de n´meros
u
4. Comparabilidad de conjuntos
5. N´merosordinales e inducci´n transfinita
u
o
6. Aritm´tica de ordinales
e
7. Cardinales y el Axioma de Elecci´n
o
8. Aritm´tica de cardinales y ultimos axiomas
e
´

´
Departamento de Algebra, Facultad de Ciencias Matem´ticas, Universidad Coma
plutense de Madrid, 28040 Madrid, arrondo@mat.ucm.es
(∗)

1

1. Primeros axiomas y propiedades
En la Matem´tica actual, cualquier teor´ se basafuertemente en el uso de los cona
ıa
juntos. Sin embargo, no est´ claro c´mo definir un conjunto. Un conjunto deber´ ser una
a
o
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colecci´n de objetos (llamados elementos) caracterizados por una propiedad com´n. En
o
u
concreto, fijemos primero la siguiente:
Notaci´n. Dada una colecci´n de elementos X, si x es un elemento de X escribiremos
o
o
x ∈ X, mientrar que si no lo esescribiremos x ∈ X. Si P es una propiedad, indicaremos
por P (x) el hecho de que P sea cierta para el elemento x.
Con esta notaci´n, un conjunto deber´ ser una colecci´n de elementos X tales que
o
ıa
o
exista un propiedad P de modo que x ∈ X si y s´lo si P (x). Sin embargo ¿puede darse
o
cualquier propiedad para caracterizar un conjunto? El siguiente ejemplo muestra que no
se puede hacer decualquier modo:
Ejemplo 1.1 (Paradoja de Russell(∗) ). Sea X el conjunto de todos los conjuntos que no
se contienen a s´ mismos como elementos. Al ser X un conjunto, podemos preguntarnos
ı
si se contiene a s´ mismo como elemento. Si X se contiene como elemento, entonces por la
ı
definici´n de X se puede decir que X no es un elemento de X, lo que es una contradicci´n.
o
o
Si, por el contrario, Xno se contiene como elemento, entonces la definici´n de X nos dice
o
que X est´ en X, lo que de nuevo es una contradicci´n.
a
o
La paradoja de Russell indica que no cualquier propiedad sirve para definir un conjunto, o m´s bien que no podemos llamar conjunto a cualquier cosa. Lo que vamos a hacer
a
es ir dando a lo largo del curso una serie de axiomas (los llamados Axiomas de ZermeloFrenkel)que debe satisfacer lo que queramos llamar conjunto (de hecho, este curso deber´
ıa
ser paralelo a uno de L´gica que demostrara que el sistema de axiomas que vamos a imo
poner es coherente). Iremos introduciendo los axiomas a medida que los necesitemos. De
hecho, no es que al final de curso podamos dar una definici´n precisa de conjunto (incluso
o
mencionaremos ciertas hip´tesis que tanto suafirmaci´n como su negaci´n son compatibles
o
o
o
con nuestros axiomas), pero al menos habremos reconstruido a trav´s de nuestros axiomas
e
los conjuntos b´sicos en Matem´ticas (empezando por los naturales, racionales, reales,...).
a
a
Empezamos por un par de axiomas, el primero afirmando la existencia de conjuntos
vac´
ıos.
Axioma de Existencia. Existe un conjunto sin elementos.
Elsegundo axioma equivale a la t´
ıpica demostraci´n de la igualdad de dos conjuntos
o
mediante el “doble contenido”:
(∗)

La paradoja original era sobre el barbero de un pueblo que afeitaba a todos los del pueblo que no se

afeitaban a s´ mismos: ¿Se afeita entonces el barbero a s´ mismo?
ı
ı

2

Axioma de Extensionalidad. Si cada elemento de X es un elemento de Y y cada
elemento de Y...