teoria de conjunto

Teoría elemental de conjuntos

Nociones de Conjunto

La teoría de Conjuntos trajo claridad y precisión en la exposición de muchas teorías y áreas de la matemática, como la teoría de las probabilidades, la topología, la teoría de grupos, etc.
Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos con una característica particular
Los objetos ordenados de estamanera se llaman elementos o miembros y decimos que estos pertenecen al conjunto.

Ejemplos:
1) los números 1, 3, 7 y 10
2) las soluciones de la ecuación
3) las vocales del alfabeto a, e, i, o. u
4) las personas que habitan la tierra
5) los estudiantes José, Margarita, Patricia
6) los estudiantes ausentes de la ECAS
7) los países Chile, Argentina, Brasil
8) los nombres de las regionesde Chile
9) los números 2, 4, 6, 8, …………
10) los ríos de Chile

Nota: los ejemplos de los conjuntos impares están definidos enumerando sus elementos y los ejemplos de los conjuntos pares están definidos enunciando características que deciden si un objeto particular es o no elemento del conjunto.





NOTACION:

En general representamos los conjuntos con letras mayúsculas: A, B,C, X, Y, Z
y los elementos por letras minúsculas: a, b, c, x, y, z

Existen dos formas de escribir los conjuntos:
Por extensión, cuando se listan los elementos del conjunto.
Por ejemplo el conjunto A cuyos elementos son los números 1, 3, 7 y 10 se escribe:
Separando los elementos por comas y encerrándolos entre llaves.

Por comprensión o abstracción, cuando se identifican los elementosdel conjunto por una propiedad común entre ellos
Por Ejemplo el conjunto B que esta constituido por todos los números pares, entonces se emplea una letra por lo general para representar un elemento cualquiera del conjunto y se escribe
lo que se lee “ B es el conjunto de los números x tal que x es un número par.

Ejercicio : escriba los conjuntos del ejemplo anterior.


NOTA:Si un objeto x es un elemento del conjunto A, es decir, si el conjunto A contiene a x como uno de sus elementos lo anotamos como: que se lee “x pertenece a A” análogamente si un objeto x no es elemento del conjunto A, es decir, si el conjunto A no contiene a x como uno de sus elementos lo anotamos como: que se lee “x no pertenece a A”

El símbolo de pertenencia representa una relaciónfundamental de la teoría de conjuntos.

Ejemplo:
, entonces
, entonces
Resumen:
Un conjunto es una colección definida de objetos, llamados elementos.

Ejemplos.
▪Los alumnos de este curso y cada alumno es un elemento del conjunto.
▪Las aves de la fauna chilena constituyen un conjunto y cada ave es un elemento del conjunto.


Cardinalidad y Tipos de Conjuntos
Hay conjuntos quetienen un número finito de elementos, estos son los Conjuntos Finitos, un conjunto que no tiene un número finito de elementos es un Conjunto Infinito.
Ejemplo:
Si M es el conjunto de los días de la semana, entonces M es un conjunto finito
Si N es un conjunto infinito

Nota
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene el conjunto.
su cardinalidad es 5, pues haysólo 5 vocales.
Por razones técnicas de las aplicaciones es necesario considerar un conjunto que carece de elementos, este se llama conjunto Vacío.
El conjunto vacío se denota simbólicamente como , su cardinalidad es cero.
Ejemplo:
Si A es el conjunto de todas las personas vivientes mayores de 300 años, el conjunto A es un conjunto vacío

IGUALDAD DE CONJUNTOS
El conjunto A es igual alconjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece al conjunto A también pertenece al conjunto B y si cada elemento que pertenece al conjunto B también pertenece al conjunto A. La igual de los conjuntos A y B se denota
Ejemplo: sean y . Entonces , es decir pues cada uno de los elementos de A pertenece a B y cada uno de los elementos de B pertenece a A....