Teoria de conjuntos y analisis combinatorio

Unidad III. Conjuntos y Técnicas de Conteo

3.1 Teoría de conjuntos.
Un conjunto se define como una colección de todos los objetos que poseen una característica o más en común, a los cuales se les denomina elementos o miembros. Clase, grupo y colección son sinónimos de conjunto.
A los conjuntos los representamos con letras mayúsculas A, B, C,.... por ejemplo:

A = 1, 2, 3, 4B = x(x sea vocal

C =

Y a sus elementos por letras minúsculas. Por ejemplo:

a, e, i, o, u son elementos de C o bien pertenecen a C.

Es decir:

a ( C a es elemento de C, o bien, a pertenece a C
h ( C h no es elemento de C, o bien h no pertenece a C.

Conjunto Finito. Sedenomina así a aquel conjunto en donde se conoce la cantidad de miembros o elementos del conjunto. Por ejemplo:

C = x(x sea vocal

Conjunto infinito. Se denomina así a aquel conjunto en donde se desconoce la cantidad de miembros o elementos del conjunto.

D = x(x sea par

Igualdad de conjuntos. Dos conjuntos son iguales entre si, si constan de los mismoselementos. Por ejemplo:

C = x(x2 - 1 = 0 M = 1, -1

x2 - 1 = 0 entonces: x2 = 1 y x = [pic] por lo tanto: x = [pic] 1

En consecuencia:

C = M por lo que M ( C y C ( M y se lee: M esta contenido en C.

Conjunto vacío o nulo. Se denomina así, al conjunto que no contiene elementos yse denota por (. El conjunto vacío esta contenido en todo conjunto.

( ( A donde A es cualquier conjunto

[pic] sea vocal [pic]
[pic] sea consonante [pic] [pic]
Conjunto Universal. Se denomina así a aquel grupo que contiene a todos los elementos que poseen algo en común.

U = x(x es un numero natural

Conjunto Excluyente o Disjunto A ≠ B. Sonaquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común.

A= x(x sea mamífero B= x(x sea insecto

3.1.1 Álgebra de conjuntos.

Unión. Es el conjunto formado por todos los elementos de dos o más conjuntos. Y se expresa por:

A ( B

Intersección. Es aquel conjunto formado con elementoscomunes tanto en A como en B.

A ( B

Diferencia. La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenece a A pero no a B.

A – B

Complemento. Conjunto de elementos que no pertenece a A, pero pertenece al resto del Universo.A’ = Ac

Algo sobre condicionales:
Una condicional es una proposición con dos componentes llamadas: hipótesis y tesis:
Sí A entonces B
En este caso A es la “hipótesis” y B es la “tesis” y ambas son proposiciones.
A(B
“La proposición A implica la proposición B”.

3.1.2 Representación de conjuntos.

Método de extensión. Es aquel en donde se representan todos los elementos que pertenecen alconjunto. Por ejemplo:

A = a, e, i, o, u

Método de comprensión. Es aquel que a través de una frase se puede comprender a todos los elementos del conjunto.

A = x(x es un numero natural

Diagrama de Venn-Euler. Formado por un rectángulo en donde están contenidos todos los elementos del Universo y a través de círculos en el interior del rectángulo se representara acada uno de los conjuntos que pertenezcan al U y en el interior de los mismos a los elementos que los comprenden.

Ejercicios del Tema

Ejemplo 3.1.1 Sea U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

A = 1, 2, 3, 4 B = 2, 4, 6, 8 C = 3, 4, 5, 6

Determinar mediante los tres métodos las siguientes operaciones:
a. A U B

b. A U C

c. A ( C

d....