Teoria de conjuntos

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| Tema 2TEORIA DE CONJUNTOS | |
NOCION DE CONJUNTO: Conocemos por intuición que un conjunto es la agrupación o reunión de objetos reales o imaginarios a los cuales denominamos Elementos del conjunto
Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas (A,B,C,.......,X,Y,Z) y a sus elementos los representamos con números o con símbolos, etc. RELACION DE PERTENENCIA: Esta relaciónpermite indicar cuando un objeto es o no elemento de un conjunto dado; se representa con el símbolo del alfabeto griego epsilon minúscula:   Πque se lee "pertenece a" o "es un elemento de", y la no pertenencia se representa con el símbolo: Ï que se lee "no pertenece a" o "no es elemento de". Ejemplo: A = {1, {2}, {3,4}}; entonces:
1 Î A,  {3,4}ÎA,   {4} A,  {2} Î A,    2 Ï;A DIAGRAMA DE VENN-EULER Sonregiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar graficamente a los conjuntos:DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Por extensión o en forma Tabular.-   Cuando sus elementos se pueden indicar explicitamente. Por ejemplo:
A = {2,4,6,8,10}
B = {1,3,5,7}
C = {j,r,v,e,n,g,a,d,o,r}Por Comprensión o en forma constructiva.- Cuando se definen por medio de una propiedad ocondición, la cual debe caracterizar cada uno de sus elementos. Ejemplos:

A = {y / y es un múltiplo de 60   Ù   y < 10}
B = {x Î Z / -2 < x £ 5}
C = {x/x es una letra de la palabra JRVENGADOR}

NOTA.- No todo conjunto se puede determinar por extensión y comprensión a la vez.CLASES DE CONJUNTOS.- Conjunto Nulo o Vacío.- Es aquel conjunto que no tiene elementos. Ejemplos:
A = { x Î N / x + 4= 0}
B = { x Î R / x ¹ x} Conjunto Unitario o Singletón.- Es aquel que posee un único elemento. Ejemplo:
A = {x Î N / x 3 + 5x 2 + 10x = 0}
B = {x Î Z / -1 < x < 1} Conjunto Finito e Infinito.- Un conjunto es finito si posee una cantidad limitada de elementos, caso contrario se dice que es infinito. Ejemplos
A = {1,2,3,...,3485}, es finito
B = {1,2,3,......} , es infinito ConjuntoUniversal.- Es el conjunto que está formado por todos los elementos, de la teoría en discusión y se simboliza por "U". No existe un conjunto universal absoluto.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:Relación de Inclusión.- Dados dos conjuntos A y B y un operador "...incluido en ..." que se denota por   Ì , se tiene: A Ì B « "x: xÎ A ® xÎBEjemplo: A = {1,2} y B = {1,2,3,4} Þ AÌBPROPIEDADES:1) "A,     Æ   Ì  A
2)"A,      A  Ì  AOBSERVACIONES1) A Sp B Û A Ì B   Ù   B Ë A
(Sp = Sub Conjunto Propio)
2) A comp. B Û A Ì B   Ù   B Ì A
(comp. = comparable) Relación de igualdad: Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Se denota por:
A = B
Y simbólicamente por:
A = B   Û ; A   Ì  B      Ù   B  Ì   A Conjuntos Disjuntos: Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementoscomunes. Simbólicamente:
A y B son Disjuntos    Û   " x/x  Ï  A   Ú  x  Ï  B Conjuntos Equipotentes o coordinables: Dos conjuntos A y B son coordinables cuando existe una correspondencia biunivoca (uno a uno) entre sus elementos. Simbólicamente:
A ~ BÛ(A) = n(B)
Ejemplo: Sean
A = {1,2,3}     y    B = {a,b,c}

        Þ    A ~ B Conjunto Potencia o Conjunto de Partes: Dado el conjuntos A, se dice queel conjunto Potencia de A, está formado por todos los subconjuntos de A.  Se denota: P(A).  Simbólicamente: P(A) = {x/x Ì A}
OBSERVACIONES. 1. El conjunto vacío y el mismo conjunto A son elementos de P(A) 2. Si el número de elementos de A lo denontamos por: n(A), entonces el número de elementos de P(A) es: 2n(A), es decir:n[P(A)] = 2n(A)
Ejemplo: Si   A = {a,b,c}, Hallar: a) n[P(A)]       b) P(A)Solucion: a) Si A = {a,b,c} Þ n(A) = 3
    n[P(A)] = 2 n(A) = 23 = 8b)  P(A) = {f , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS * REUNION: A U B = {x/x Î A    Ú   x Î B} | | |
* * INTERSECCION: A È B = {x/x Î A    Ù   x Î B} * SUSTRACCION: A - B = {x/x Î A    Ù    x Ï B} * SUSTRACCION SIMETRICA:A D B = {x/(x Î A    Ù    x Ï B)   Ú  (x ÏA    Ù...
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