Teoria De Conjuntos

Teoría de Conjuntos
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.
Ejemplos de conjuntos:
*  : el conjunto vacío, que carece deelementos.
* N: el conjunto de los números naturales.
* Z: el conjunto de los números enteros.
* Q : el conjunto de los números racionales.
* R: el conjunto de los números reales.
* C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:
* por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
* por comprensión, diciendo cuáles la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llavesa sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
* A := {1,2,3, ... ,n}
* B := {p Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es unsubconjuntode B o que A es una parte de B),
y se denota A  B, sitodo elemento de A lo es también de B, es decir, a A  a B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que A y A  A;
B  A es un subconjunto propiode A si A  y B  A.
El conjunto formado por todos lossubconjuntos de uno dado A se llamapartesde A, y se denota  (A).
Entonces, la relación B A es equivalente a decir B  (A). Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces  (A) = {,{a},{b},A}.
Si a  A entonces {a} (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universalo de referencia.
OPERACIONES ENTRECONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A B := {a  A | a B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A B)  A
Si A  (U), a la diferencia U  A se le llama complementariode A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U severifica:
*  ' = U .
* U ' = .
* (A')' = A .
* A  B B'  A' .
* Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A  B := { x | x A  x B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y Bal conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A  B := {x | x A  x B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES | UNION | INTERSECCION |
1.- Idempotencia | A  A = A | A  A = A |2.- Conmutativa | A  B = B  A | A  B = B  A |
3.- Asociativa | A  ( BC ) = ( A  B ) C | A  ( BC ) = ( A  B ) C |
4.- Absorción | A  ( AB ) = A | A  ( AB ) = A |
5.- Distributiva | A  ( BC ) = ( A  B ) ( A  C ) | A  ( BC ) = ( A  B ) ( A  C ) |
6.- Complementariedad | A  A' = U | A  A' =  |

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión eintersección tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
* A  = A , A  =  ( elemento nulo ).
* A  U = U , A U = A ( elemento universal ).
* ( A  B )' = A' B' , ( A  B )' = A' B' ( leyes de Morgan ).

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesianode ambos como el conjunto de pares...