Teoria de conjuntos

Capítulo 1
Introducción
1.1. Pinceladas históricas
En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia
de las matemáticas que las ligaría desde entonces a lahistoria de la lógica.
Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató
de presentar la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob
Frege (1848-1925) intentómostrar que la aritmética era parte de la lógica en su
Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia
de las matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor sehabía adelantado
a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había
demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo
de extremos 0 y 1 no esnumerable, en el sentido de que su infinitud no es
la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor
creó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría deconjuntos.
Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos.
Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre
apasionados, sin duda por hallarseestrechamente conectados con importantes
cuestiones lógicas.
Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo
de determinados y distintos objetos de nuestra percepción onuestro pensamiento,
llamados los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de
la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar.
En 1903 B. Russell demostraríaque la teoría de conjuntos de Cantor era
inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor.
Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de éstadebidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron
las bases para la teoría de conjuntos actual.
Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las...