Teoria de conjuntos

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Teoría de Conjuntos
 
NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a∉ A.
 
Ejemplos de conjuntos: 
o ∅ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
o N: el conjunto de los números naturales.
o Z: el conjunto de los números enteros.
o Q : el conjunto de los números racionales.
o R: el conjunto de los números reales.
o C: el conjunto de los números complejos.
 
Se puede definir un conjunto:
o por extensión,enumerando todos y cada uno de sus elementos.
o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
 
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
o A := {1,2,3, ... ,n}
o B := {p∈ Z | p es par}
 Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A ⊆ B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a ∈ A ⇒ a ∈ B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A ⊆ B y B ⊆ A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
 
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A ∪ B := { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Si A y B son subconjuntos de un ciertoconjunto universal U, entonces es fácil ver que A − B = A ∩ B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
|PROPIEDADES |UNION |INTERSECCION |
|1.- Idempotencia |A ∪ A = A|A ∩ A = A |
|2.- Conmutativa |A ∪ B = B ∪ A |A ∩ B = B ∩ A |
|3.- Asociativa |A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C |A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C |
|4.- Absorción|A ∪ ( A ∩ B ) = A |A ∩ ( A ∪ B ) = A |
|5.- Distributiva |A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) |A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) |
|6.- Complementariedad |A ∪ A' = U |A ∩ A' = ∅|

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
o A ∪ ∅ = A , A ∩ ∅ = ∅ ( elemento nulo ).
o A ∪ U = U , A ∩ U = A ( elemento universal ).
o ( A ∪ B )' = A' ∩ B' , ( A ∩ B )' = A' ∪ B' ( leyes de Morgan ).
 
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de paresordenados:
 
A × B := { (a,b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}

Dos pares (a,b) y (c,d) de A × B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica
 
A × B = C × D ⇔ ( A = C ∧ B = D )

 
DIAGRAMAS DE VENN
Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de...
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