Teoria de conjuntos

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1. Introducción

Todas las áreas de las matemáticas o bien se fundamentan en la teoría de los conjuntos, o bien la utilizan como parte de su operatividad; debido a ello el estudio de la teoría de los conjuntos reviste una gran importancia tanto para los estudiosos de las ciencias exactas y naturales como para los ingenieros, cualesquiera que sea su rama de especialización. Debido a lo anterior,estudiaremos algunos aspectos generales de ésta teoría.

2. Conceptos básicos

1. Un conjunto es una colección de objetos. Los conjuntos se denotan por medio de letras mayúsculas, con o sin índice: A, B, C1, D4,…; y a los objetos pertenecientes a los conjuntos, se les llama elementos, se denotan con letras minúsculas, con o sin índice: a, b, x1, z3,…

2. Dado un conjuntoA, si a es un elemento de A, se escribe a[pic]A; asimismo, a[pic]A indica que a no es un elemento de A.

Una forma de representar a los conjuntos es escribiendo todos sus elementos, separados por “comas”, dentro de corchetes; cuando un conjunto contiene muchos elementos o es infinito, se utilizan “puntos suspensivos”, siempre que esto no cause confusión. Sin embargo, con el uso de proposicionesabiertas, se les puede denotar de manera compacta de la siguiente forma: dado un conjunto S, se escribe A = {a[pic]S / P(a)}, la cual se lee "A es el conjunto de todos los elementos en S para los que se verifica la propiedad P".

Gráficamente, a los conjuntos se representan mediante los diagramas de Venn-Euler, en estos diagramas, los conjuntos se representan por medio de burbujas y loselementos por puntos.

3. Se dice que A es un subconjunto del conjunto S si todo elemento en A es un elemento de S; es decir, si [pic] a[pic]A [pic] a[pic]S, esto se escribe como A[pic]S (ó S[pic]A) y se lee “A está contenido en S” (ó “S contiene a A”). Esta definición no descarta el hecho de que A = S, es decir, que ambos conjuntos contengan los mismos elementos.

Obviamente, si A no es unsubconjunto de S, escribimos: [pic].

4. Dados los conjuntos A y B, se dice que estos son iguales y se escribe A = B si [pic] a[pic]A [pic] a[pic]B & [pic] a[pic]B [pic] a[pic]A o, utilizando la relación de continencia, ambas relaciones A[pic]B y B[pic]A, se cumplen.

Para probar la igualdad de dos conjuntos, debe mostrarse que las dos relaciones de contención indicadas se verificansimultáneamente.

5. Si A[pic]S, pero A[pic]S (A no es igual a S) decimos que A es un subconjunto propio de S.

6. Se llama conjunto vacío y se denota por [pic], al conjunto que no tiene ningún elemento.

Es un ejercicio relativamente simple comprobar que [pic] es un subconjunto de todo conjunto.

1. Si N es el conjunto de los número naturales, escribimos: [pic].

2. Si S es elconjunto de los enteros y A el subconjunto de los enteros positivos, entonces A = {a[pic]S I a > 0}, y en consecuencia A[pic]S.

3. Sea S el conjunto {(1), (2), ..., (10)}, entonces el subconjunto A = {(1), (4), (7), (10)} puede escribirse como A = {(i)[pic]S I i = 3n+ 1, n = 0, 1, 2, 3}.

Dados dos o más conjuntos (el número puede ser finito o infinito) podemos combinarlos para formarnuevos conjuntos.

7. La unión de los conjuntos A y B, escrita A[pic]B, es el conjunto {x l x[pic]A o x[pic]B}.

En el lenguaje común, cuando decimos que una cosa es de esta forma o de esta otra, sobreentendemos que no es de ambas. El "o" matemático que aparece en la definición anterior es diferente porque, cuando decimos que x esta en A o x está en B, queremos decir que x está al menos enuno de los dos A o B, pero además puede ser que este en ambos.

4. Para cualquier conjunto A, A[pic]A = A; además, si B es un subconjunto de A, entonces A[pic]B = A.

5. Si A = {[pic]} y B = {[pic]}, entonces A[pic]B={ [pic]}.

6. Si A es el conjunto de todas las mujeres delgadas y B el conjunto de todas las mujeres que tienen coche propio, entonces A[pic]B consiste en todas...
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