Teoria De Estructuras

EJEMPLO 2. ESTRUCTURA ARTICULADA
En la estructura articulada de la figura, constituida por barras del mismo módulo de elasticidad E,
y la misma sección transversal A, obtener
a) los desplazamientos en los nudos
b) los esfuerzos de cada barra
c) las reacciones

Se tiene una estructura configurada por barras con distintas orientaciones. De la numeración de
nudos y barras tenemos lasiguiente tabla de conectividad entre nudos:
Barras
A
B
C
D

Nudo 1
1
2
1
3

Nudo 2
3
3
2
4

La matriz de rigidez de la estructura completa será de la siguiente forma:
⎡K 11(A + C)
⎢
C
⎢ K 21
⎢KA
31
⎢
⎢
0
⎣

K 12 C
K 22

(B +C)

K 32
0

B

K 13 A
K 23

B

K 33 (A + B+ D)
K 43 D

0⎤
⎥
0⎥
K 34 D ⎥
⎥
K 44 D ⎥
⎦

Tendremos que calcular la matriz derigidez de los distintos elementos en coordenadas globales a
partir de su expresión en locales y de las matrices de transformación de coordenadas. El sentido de los
ejes en locales es del nudo inicial al final de cada elemento, según la tabla anterior.
Al tratarse de una estructura con nudos articulados, los movimientos permitidos en cada uno de
ellos son únicamente los acortamientos oalargamientos en la dirección de los esfuerzos axiles (la
propia dirección de la barra), por tanto la matriz de rigidez elemental de cada barra será de la forma

⎡ EA
⎢L
⎢ EA
⎢−
⎣L

EA ⎤
L⎥
EA ⎥
⎥
L⎦

−

111

• BARRA A
Longitud = L 2 , α= 45º , Matriz de la barra =
coordenadas globales es:

K A =•

2
2

B
A
RRA B

⎡1
⎢1
⎢
⎢0
⎢
⎣0

0⎤
0⎥
⎥
1⎥
⎥
1⎦

Longitud = L 2,
B en globales es:

KB =

2
2

⎡1 0⎤
⎢− 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢0 1⎥
⎢
⎥
⎣ 0 − 1⎦

⎡ 1 − 1⎤
⎢− 1 1 ⎥
⎣
⎦

EA
L2

2
2

⎡1 1 0 0 ⎤
⎢0 0 1 1 ⎥
⎣
⎦

EA
L2

⎡ 1 − 1⎤
⎢− 1 1 ⎥
⎣
⎦

2
2

KC =

EA
2L

⎡ 1 −1 ⎤
⎢− 1 1 ⎥
⎣
⎦

Longitud = L, α= 0º , Matriz de la barra = con
coordenadas globales es:

KD =

0⎤
0⎥
⎥
1⎥
⎥
0⎦

EA
L

⎡ 1 −1 ⎤
⎢− 1 1 ⎥
⎣
⎦⎡ EA
⎢L
⎢ EA
⎢−
⎣L

⎡ 1 1 − 1 − 1⎤
⎢ 1 1 − 1 − 1⎥
⎢
⎥
⎢− 1 − 1 1 1 ⎥
⎢
⎥
⎣− 1 − 1 1 1 ⎦

⎡ EA
⎢L
⎢ EA
⎢−
⎣L

⎡1 0 0 0⎤
⎢0 0 1 0 ⎥
⎣
⎦

EA 2
4L

EA ⎤
L⎥
EA ⎥
⎥
L⎦

−

⎡0 1 0 0 ⎤
⎢0 0 0 1 ⎥
⎣
⎦

• BARRA D

⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0

con lo que la matriz en

EA 2
4L

=

⎡1 − 1 0 0 ⎤
⎢0 0 1 − 1⎥ =
⎣
⎦

Longitud = 2L,
α= 90º , Matriz de la barra=
coordenadas globales es:

0⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎦

EA ⎤
⎥
L 2⎥
EA ⎥
L2⎥
⎦

−

α= 315º , Matriz de la barra igual a la anterior, con lo que la matriz de la barra

• BARRA C

⎡0
⎢1
⎢
⎢0
⎢
⎣0

⎡ EA
⎢
⎢L 2
⎢− EA
⎢L2
⎣

=

EA ⎤
L⎥
EA ⎥
⎥
L⎦

−

=

⎡ 1 −1 −1 1 ⎤
⎢− 1 1 1 − 1⎥
⎢
⎥
⎢− 1 1 1 − 1⎥
⎢
⎥
⎣ 1 −1 −1 1 ⎦

con lo que la matriz en

EA
2L

loEA
L

⎡0 0
⎢0 1
⎢
⎢0 0
⎢
⎣0 − 1

que

⎡1
⎢0
⎢
⎢− 1
⎢
⎣0

0 0⎤
0 − 1⎥
⎥
0 0⎥
⎥
0 1⎦

la

0 −1
00
01
00

matriz

en

0⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
0⎦

La matriz de rigidez de la estructura completa se obtiene ensamblando las de cada barra
112

K=

EA
L

⎡2
⎢
⎢4
⎢2
⎢4
⎢
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢− 2
⎢
⎢4
⎢− 2
⎢4
⎢0
⎢
⎢0
⎣

2
4

0

21
+
42

01
2
−2
4
−2
4
0

2
4
−2
4
−2
4
2
4
0

0

−2
4
−2
1
−
2
4
−2
−2
4
4
21
2
+
42
4
2
2
1+
4
2
−2
0
4
0
−1

0

0
−

0

0

0

⎤
0⎥
⎥
⎥
0 0⎥
⎥
0 0⎥
⎥
⎥
0 0⎥
⎥
⎥
− 1 0⎥
⎥
0 0⎥
⎥
1 0⎥
⎥
0 0⎥
⎦

−2
4
−2
4
2
4
−2
4

0

0
2
2
0
0

Teniendo en cuenta los grados de libertad restringidos en los diferentes nudos, sepueden
suprimir las filas y columnas correspondientes, que son las 1, 3, 4, 7 y 8 (movimiento x del nudo 1, y
los dos movimientos x e y de los nudos 2 y 4). Queda el sistema de ecuaciones

EA
L

⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

21
+
4
2
2
−
4
2
−
4

2
2⎤
−
⎥
4
4⎥
2
⎥
−
+1
0⎥
2
⎥
2⎥
0
4⎥
⎦
−

⎡ δ1X ⎤
⎢
⎥
⎢δ 3 X ⎥
⎢ δ 3y ⎥
⎣
⎦

⎡0⎤
= ⎢1⎥
⎢⎥
⎢− 1⎥
⎣⎦...