Teoria de funciones derivables
TEORÍA DE FUNCIONES DERIVABLES
1. INTRODUCCIÓN.
El concepto de función es muy importante en Análisis Matemático y en Economía. Trataremos, a lo
largo de esta lección, de dar un conjunto de ideas básicas sin las cuales es imposible avanzar en el
Análisis Matemático.
El lector conoce que una función real (tal vez sería conveniente decir función real de una variable
independiente)es una aplicación de una parte D de R (conjunto de los números reales) en R, o, en forma
simbólica:
f: D R R
Lógicamente, puede ocurrir que D R, como sería el caso de la función definida como aquella que
hace corresponder a cualquier número real (que designaremos por x) su cuadrado menos el número «pi».
Como a todo número real lo podemos elevar al cuadrado y restar, a continuación, elnúmero pi, resulta
que esta función «está definida» en todo R. Simbólicamente:
x x2 -
es decir, f(x) = x2 - , que quiere decir “la imagen de x mediante f es x2 - ”. Como x2 - R , le podemos
llamar “y”, teniendo entonces: y = x2 - , que es la forma en que, normalmente va a aparecer una función
real.
¿Por qué definir entonces una función real como una aplicación de «una parte D de Rn enR? Pues
simplemente para permitir que, por ejemplo,
y x
sea una función. Obsérvese que la función anterior quiere decir que a todo número real x le hacemos
corresponder su raíz cuadrada, llamando «y» a este valor. Pero esta correspondencia no es aplicación de
R en R, ya que, por ejemplo - 5 no tiene imagen real. Si definimos, entonces, esta correspondencia entre
D=R+ y R, resultará que yasí tenemos seguridad de que es aplicación; todo elemento del dominio tiene su
imagen en R.
2. FUNCIONES ESCALARES Y VECTORIALES
Generalicemos entonces conceptos, ya que hasta ahora únicamente son conocidas funciones de una
única variable independiente, pero en Economía y en otras ciencias las funciones que en general aparecen
son funciones de varias variables independientes. Por ejemplo,supóngase una empresa que produzca dos
bienes, «A» y «B», donde el precio de venta de cada unidad del artículo «A» sea 4, y el de cada unidad de
«B» sea 3; entonces los ingresos debido a la venta serían 4x1+3x2, donde x1 serán las unidades del artículo
«A» y x2 las unidades del artículo «B»; por tanto, los ingresos z, que son función de x1 y x2 vendrán
dados por la expresión
z(x1,x2) =4x1+3x2
donde z(x1,x2) expresa que los ingresos Z dependen de la cantidad de artículos vendidos x1 y x2; por tanto,
se dirá que z es una función de dos variables independientes. Como vemos en este caso, x1 y x2 serán
números enteros, ya que hablamos de números de artículos vendidos, pero eso en una primera aproximación, ya que supongamos que los artículos sean dos tipos distintos de quesos, entonceslo lógico es
pensar que x1 y x2 lo que expresan son el número de kilogramos, que no tienen por qué ser enteros, ya
que, en general, serán números racionales; no obstante, para incluir todos los posibles casos supondremos
que tanto x1 como x2 serán números reales.
Como una función puede depender de una, dos, tres o un número arbitrario de variables
independientes, entonces tendremos quetrabajar con R, R2, R3, o en general con Rn, donde “n” será un
número natural.
1
Por otro lado, hemos de hacer notar que en las funciones de las que hablamos anteriormente (fuera de
la discusión de que x1 y x2 fueran números enteros o racionales) lo que sí es cierto, es que dichas
variables son siempre positivas. ¿Por qué hacemos notar esto? Porque todas estas observaciones han de
quedarreflejadas en la definición de función real de varias variables reales, que a continuación
enunciamos:
DEFINICIÓN
Se llama función real de n(n N) variables reales a toda aplicación de una parte D de Rn (o de todo
R ) en R.
n
Esquemáticamente:
f: D Rn R
x = (x1,…,xn) f(x1,…,xn)
Vemos cómo en la definición anterior se introduce la posibilidad de que la función no esté definida
en...
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