Teoria de grafos

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O V A O T N S A U I G B U R
[para principiantes]

Teor´ de n´meros ıa u

O V A O T N S A U I G B U R

O V A O T N S A U I G B U R
[para principiantes]
Luis R. Jim´nez B. e Jorge E. Gordillo A. Gustavo N. Rubiano O.
Profesores

Teor´ de n´meros ıa u

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogot´ a

O V A O T N S A U I G B U R
vi, 284 p. : 3 il. ISBN958-701-372-7 QA241. 1. Teor´ de n´meros ıa u Luis R. Jim´nez B., e Jorge E. Gordillo A., Gustavo N. Rubiano O.

´ ´ Teor´ de numeros [para principiantes], 2a. edicion. ıa Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´. a Facultad de Ciencias, 2004 Mathematics Subject Classification 2000: 11-01. c Edici´n en castellano: Luis R. Jim´nez B., Jorge E. Gordillo A., o e Gustavo N. Rubiano O. UniversidadNacional de Colombia.

Primera impresi´n, 2004 o Impresi´n: o Pro–Offset Editorial Ltda. Bogot´, D. C. a COLOMBIA

O V A O T N S A U I G B U R
Pr´logo o 1 N´ meros Naturales u 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

´ Indice General

ix 1 1 2 5 7 10 13 25 25 27

Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adici´n de n´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . o uMultiplicaci´n de n´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . o u Orden entre n´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . u Construcci´n de los n´meros enteros . . . . . . . . . . . . . . o u Formas equivalentes al principio de inducci´n o matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

2 Divisibilidad 2.1 2.2 Propiedades b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. a M´ximo Com´n Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . a u v

vi 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

´ INDICE GENERAL

O V A O T N S A U I G B U R
3 Funciones Aritm´ticas e 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Funciones multiplicativas 4 Congruencias 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades del M´ximo Com´n Divisor . . . . . . . . .. . . a u M´ ınimo Com´n M´ltiplo y generalizaciones . . . . . . . . . . u u Teorema fundamental de la aritm´tica . . . . . . . . . . . . . e Algunas propiedades de los n´meros primos . . . . . . . . . . u Algunas ecuaciones diof´nticas . . . . . . . . . . . . . . . . . a

29 33 39 46 51 58 64 64 70 74 78 86 90 98 98

La funci´n parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Lasfunciones n´mero y suma de divisores . . . . . . . . . . . u N´meros perfectos, de Mersenne y de Fermat . . . . . . . . . u La funci´n Φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La f´rmula de inversi´n de M¨bius . . . . . . . . . . . . . . . o o o

Definici´n y propiedades b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . o a

Criterios deDivisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Aritm´tica m´dulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 e o Los Teoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Ecuaciones Diof´nticas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 a Sistemas de congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . .127 El Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

´ INDICE GENERAL

vii

O V A O T N S A U I G B U R
4.9 5 Residuos cuadr´ticos a 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6 Criptograf´ ıa 6.1 6.2 6.3 6.4 6.4.1 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3

Congruencias de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.10 Congruencias con m´dulo una potencia de un primo . . . . . 140 o 4.11Teoremas de Lagrange y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 153

Congruencias de segundo grado con m´dulo primo . . . . . . 153 o Ley de la reciprocidad cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . 160 a El s´ ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Potencias m´dulo n y ra´ o ıces primitivas . . . . . . . . . . . . . 172

´ Algebra y teor´ de n´meros . . . . . . . ....
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