Teoria de la convexidad y teoria economica

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TEORÍA de la CONVEXIDAD y TEORÍA ECONÓMICA

Autoras: García Silvia Monzón Clyde

ANUARIO 2002 – F.C.E. – U.N.P.S.J.B. 13

ANUARIO 2002 – F.C.E. – U.N.P.S.J.B. 14

“TEORÍA de la CONVEXIDAD y TEORÍA ECONÓMICA” AUTORAS: Lic. Silvia E. García Prof. Clyde D. Monzón

ÍNDICE INTRODUCCIÓN

OBJETIVOS y METODOLOGÍA

RESULTADOS I - TEORÍA DE LA CONVEXIDAD 1. Conjuntos convexos 1.1.Propiedades 1.2. Propiedad 1.3. Teoremas de separación 1.4. Cápsula convexa 1.5. Conos convexos 1.6. Propiedades 2. Funciones cóncavas y cuasicóncavas

II. APLICACIONES A LA TEORÍA ECONÓMICA MODELO 1. Programación lineal MODELO 2. Tecnología y convexidad

III - APÉNDICE BIBLIOGRAFÍA

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INTRODUCCION
En Teoría Económica son numerosos los casos en los queaparece la caracterización de conjuntos convexos, funciones convexas y cóncavas, y se aplican sus propiedades: “El concepto de convexidad de un conjunto de puntos, nos permite formular condiciones referentes a la tecnología y las preferencias, entre otros temas, que nos aseguran la existencia de un sistema de precios capaz de sostener las decisiones optimizadoras descentralizadas de producción y deconsumo.” ([10], página 6). ...“Por tanto el concepto de convexidad nos permite enunciar hipótesis mínimas para la validez de una parte importante de la Teoría Económica ...” ([10], página 27). Hemos notado que aun con gran cantidad de apariciones de este tema en teoría económica, es poco el desarrollo del mismo en la formación matemática de los economistas. Por otro lado, en modelos económicos dondese pide conjuntos convexos, conos, funciones cóncavas, en muchos casos no se aclara cuándo es necesidad de la teoría económica o una simplificación para la matemática involucrada.

OBJETIVOS y METODOLOGÍA
Como una de las actividades desarrolladas dentro del Proyecto de Investigación “ENFOQUE MATEMÁTICO PARA TEORÍA ECONÓMICA ACTUAL”, nos propusimos desarrollar determinados temas de matemáticaque evaluamos como fundamentales para modelizar en teoría económica. Además, mostrar aplicaciones, y citar la bibliografía que permita extender o profundizar tanto la teoría matemática como las aplicaciones. De esta manera buscamos que este trabajo resulte, por lo menos en una primera lectura, autocontenido.

RESULTADOS
El contenido de este trabajo surge al buscarle respuesta a los dos problemassiguientes: Dado un tema de la teoría de la convexidad ¿en que teorías económicas se aplica?, y Dadas algunas teorías económicas ¿qué temas de teoría de la convexidad permiten expresar y resolver modelos de estas teorías en lenguaje matemático?

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I . TEORIA DE LA CONVEXIDAD
1. Conjuntos Convexos
El estudio de conjuntos convexos es válido en cualquierespacio vectorial, pero para los fines del presente trabajo se considerará el espacio Ñn. Por lo tanto, los conceptos topológicos corresponderán a la topología habitual de Ñn. Hay conceptos que se usan cuyas definiciones se encuentran en el APENDICE al final del trabajo , si es necesario consultarlo. Definición 1. Un conjunto S Ì Ñn es convexo si y sólo si, para todo par de puntos de S elsegmento que los une está contenido en S, es decir si y sólo si dados x1, x2 Î S, el punto x = t.x1 + (1-t).x2 Î S para todo t , 0 £ t £ 1.
x1

x x1

2

x2

conjunto convexo

conjunto no convexo

Definición 2. El punto x Î Ñn es una combinación lineal convexa de los puntos

x1, x2, ..., xk de Ñn si y sólo si x = ∑ t i .x i , donde 0 £ ti £ 1 para i = 1, .. , k ,
i =1

k

y

∑t
i =1k

i

= 1.
(1)

1.1. Propiedades

y Definiciones

1) El conjunto S es convexo si y sólo si toda combinación lineal convexa de puntos de S pertenece a S. 2) El conjunto de todas las combinaciones lineales convexas de los puntos x1, ..., xk es un conjunto convexo. 3) Si los conjuntos S y T son convexos: a. El conjunto S È T es convexo b. El conjunto S + T = { s + t / s Î S , t Î T }...
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