Teoria de la dualidad

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TEORIA DE LA DUALIDAD Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Unos de los descubrimientos mas importantes durante el desarrollo inicial de la programación lineal fue el concepto de dualidad. Este descubrimiento reveló que, asociado a todo problema de programación lineal, existe otro problema lineal llamado dual. Las relaciones entre el problema dual y el original (llamado primal) son en extremo útiles engran variedad de situaciones. Por ejemplo se verá que de hecho la solución óptima dedl problema dual es la que proporciona los precios sombra.
Unos de los aspectos mas importantes de la teoría de la teoría de la dualidad es la interpretación y realización del análisis de sensibilidad. Este constituye una parte esencial en casi todos los estudios de programación lineal. Dado que algunos o todosvalores de los parámetros que se emplean en el modelo son sólo estimaciones de las condiciones futuras, es necesario investigar el efecto que se tendría sobre la solución óptima en caso de que prevalecieran otras condiciones. Aún más ciertos valores de éstos parámetros (como la cantidad de recursos) pueden representar decisiones administrativas, en cuyo caso su elección debe ser el punto másimportante de la investigación y, por supuesto, se puede estudiar a través del análisis de sensibilidad.

ESENCIA DE LA TEORIA DE DUALIDAD
La esencia quiere decir que el problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el problema primal, pero en diferentes lugares. Para recalcar esta comparación, observe ahora éstos mismos problemas en la notación matricial, en donde c y y= [y1,y2,…,ym] sonvectores renglón, pero b y x son vectores columna.



La tabla prima-dual para programación lineal (véase tabla 6.2) ayuda a subrayar la correspondencia entre los problemas. Muestra todos los parámetros de progarmacion lineal y como se usan para construir los dos problemas. Todos los encabezados del problema primal están en posición horizontal, mientras que los del problema dual se leen al darun cuarto de vuelta al libro. Para el problema primal, cada columna (excepto la del los lado derecho) proporciona los coeficientes de una sola variable en las respectivas restricciones y en la función objetivo, mientras que cada renglón (excepto el último) dan los parámetros de una restricción. Para el problema dual, cada renglón (excepto el renglón de los lados derechos da los coeficientes deuna variable en las restricciones respectivas y en la función objetivo, y cada columna (excepto la de la derecha) contiene los parámetros de una restricción.
En consecuencia: 1) los parámetros para una restricción en cualquier problema son los coeficientes de una variable en el otro y 2) los coeficientes de la función objetivo en un problema son los valores del lado derecho en el otro. Entonces,existe una correspondencia es la clave de algunas aplicaciones de la teoría de dualidad entre las que se encuentra el análisis de sensibilidad.




INTERPRETACION ECONOMICA DE LA DUALIDAD

La interpretación económica de la dualidad se basa directamente en la interpretación más frecuente del problema prima (problema de programación lineal en nuestra forma estándar) de forma tal que se haceresumido esta interpretación del problema en la tabla 6.6

Interpretacion del problema dual
Para ver cómo esta interpretación del problema primal conduce a una interpretación económica del problema dual, observe la tabla 6.4 que W es el valor de Z (ganancia total) en la interaccion actual. Cómo
W=b1y1+b2y2+…+bmym
Cada bi yi puede interpretarse cómo la contribuciona la ganacia por disponer debi unidades de recurso i en le problema primal. Asi, la variable yi se interpreta cómo la contribución a la ganancia por unidad del recurso i(i=1,2….,m) cuando se usa el conjunto actual de variable básicas para obtener la solución primal.
En otras palabras, los valores de yi (o los valores de yi* en la solución óptima) no son otra cosa que los precios sombras.

Interpretacion del método...
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