Teoria de la empresa

TEORÍA DE LA EMPRESA ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana asienrag@gmail.com

1. Conjuntos y funciones de producción El conjunto de posibilidades de producción o conjunto tecnológico de una empresa se designa como Z y es un subconjunto de RM ·N . Un proceso de producción es un vector semipositivo o nulo z (x y) donde x (x1 xM ) es elvector de factores productivos (insumos o inputs) y y (y1 yN ) es el vector de cantidades de productos (outputs). Decimos que el proceso de producción z es factible para la empresa si z ¾ Z . El proceso de producción z (x y) es más eficiente que z¼ (x¼ y¼ ) syss x ≦ x¼ y y¼ ≦ y, con al menos una de las dos desigualdades siendo . DEFINICIÓN 1 Las siguientes son propiedades que podría tener un conjuntoZ de posibilidades de producción: (1) Convexidad. Si z z¼

¾Z y« ¾

0 1℄ entonces «z · (1   «)z¼

(3) Posibilidad de cerrar (o de inacción). 0 ¾ Z .

(2) Eliminación gratuita. Si z que z, entonces z¼ ¾ Z .

(x y)

¾ Z , y z¼

(x¼ y¼ ) es menos eficiente

¾ Z.

(4) Rendimientos no crecientes a escala. Si z ¾ Z y « ¾ 0 1℄ entonces «z ¾ Z . (5) Rendimientos no decrecientes a escala.Si z ¾ Z y « (6) Rendimientos constantes a escala. Si z ¾ Z y « 0 entonces «z ¾ Z . 1 entonces «z ¾ Z .

Si y es un vector de niveles fijos de productos, podemos preguntarnos si existe un proceso de producción z ¾ Z que proporcione este vector de productos. Es decir, ¿existe un vector x de factores de producción tal que z (x y) ¾ Z ? 1

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GARCÍA DE LA SIENRA

Sea V (y) el conjunto x ¾ RM(x y) ¾ Z , el conjunto de requerimientos de factores para producir y. Si no existe ningún vector de factores que permita producir y, V (y) es vacío, pero siempre está definido. DEFINICIÓN 2 Sea Z un conjunto de posibilidades de producción con N 1, x ¾ RM (x y) ¾ Z para algún y ¾ R· . La función de producción de y sea X Z es el mapeo f :X R tal que f (x) máx y x ¾ V (y)

Sea K M · N y, para 1 k K, sea pk (zk ) el precio unitario del bien de  pM (zM ) pM ·1 (zM ·1) pK (zK )) entonces el tipo zk . Si p(z) (  p1 (z1 ) beneficio que el plan z ¾ Z le reporta a la empresa es definido como

¥(z)

p(z) ¡ z

N n m 1

·

pn (zn ) ¡ zn  

M m 1

pm (zm ) ¡ zm

Cuando la empresa es precio aceptante o competitiva, no puede afectar el precio de ningún producto y así pk (zk ) es constantee igual a pk para todo k. DEFINICIÓN 3 Supóngase que X es convexo. Decimos que f es (1) cóncava si, para toda x x¼ (1   «)f (x¼ );

¾X y« ¾

0 1℄, f

«x · (1   «)x¼ ℄

«f (x) ·
x¼

(3) cuasicóncava si sus conjuntos de contorno superior x ¾ X f (x) r son convexos; es decir si, para toda x x¼ ¾ X tales que f (x) r, ¼ ) r y « ¾ 0 1℄, f «x · (1   «)x¼ ℄ r; f (x (4) estrictamentecuasicóncava si, para toda x x¼ ¾ X tales que f (x) f (x¼ ) r, x x¼ y « ¾ (0 1), f «x · (1   «)x¼ ℄ r; (5) convexa si, para toda x x¼ (1   «)f (x¼ ); r,

(2) estrictamente cóncava si, para toda x x¼ ¾ X y « ¾ (0 1), si x entonces f «x · (1   «)x¼ ℄ «f (x) · (1   «)f (x¼ );

¾X y« ¾

0 1℄, f

«x · (1   «)x¼ ℄

«f (x) · «x ·

(6) estrictamente convexa si, para toda x x¼ (1   «)x¼ ℄ «f (x) · (1  «)f (x¼ );

¾ X y « ¾ (0 1), si x

x¼ f

TEORÍA DE JUEGOS

3 r r, r,

(7) cuasiconvexa si sus conjuntos de contorno inferior x ¾ X f (x) son convexos; es decir si, para toda x x¼ ¾ X tales que f (x) f (x¼ ) r y « ¾ 0 1℄, f «x · (1   «)x¼ ℄ r; (8) estrictamente cuasiconvexa si, para toda x x¼ f (x¼ ) r y « ¾ 0 1℄, f «x · (1   «)x¼ ℄ r. (9) no decreciente si, para toda x x¼

¾

X talesque f (x) f (x¼ ).

¾ X, x

x¼ implica que f (x)

TEOREMA 1 Sea f la función de producción relativa a Z . (1) Si Z admite eliminación gratuita entonces f es no decreciente. (2) Si Z es convexo entonces f es cuasicóncava. (3) Si Z admite rendimientos no decrecientes a escala entonces f ( «x) «f (x) para « 1. (4) Si Z admite rendimientos no crecientes a escala entonces f ( «x) «f (x) para «...