Teoria de las funciones

TEORIA DE LAS FUNCIONES

MATEMÁTICAS I - PRIMER CURSO .

La noción de FUNCION es uno de los conceptos más importantes de la matemática aplicada a las ciencias administrativas y contables, y crucial para el estudio de Cálculo. Hay varias formas de presentar la noción de función. En primer lugar el término función puede ser usado para designar una correspondencia entre dos conjuntos que estádada por una regla o una fórmula; o, en segundo lugar puede ser usado para clasificar un conjunto de parejas ordenadas. En cualquier caso, hay dos conjuntos y una regla que relaciona los conjuntos.

En la práctica es muy frecuente que el valor de una cantidad dependa de otra. Ej. El salario de un obrero puede depender del número de horas trabajadas en la semana; la producción de una fábricapuede depender de la cantidad de máquinas en operación; el tiempo en que cubro una distancia en un vehículo puede depender de la velocidad que imprimo; etc.

La relación entre cantidad se expresa mediante una función. Luego decimos que: FUNCION es una correspondencia entre un conjunto A de números reales x, y otro conjunto B de números reales y, donde el número y es único para un valor dado x.Ej. Para la ecuación y = x² defina una función para la que A es el conjunto de todos los valores x, y B es el conjunto correspondiente de valores y no negativos. En efecto observas que para cualquier valor de x existe uno y solamente un valor de y.

Conj. A-x -3 -1 -¾ 0 1/2 2 3
Conj. B-y 9 1 9/16 0 1/4 4 9

Para expresar (denotar) una función se utilizan símbolos como f, g, h, F, G, H, ylas letras griegas ф (Phi), ψ (Psi).

RECUERDA: En una ecuación indeterminada a x se conoce como ‘variable independiente’, y a y como ‘variable dependiente’. LUEGO: El conjunto de valores asignados a x constituyen el dominio de la función, y el conjunto de valores que toma y después de haber asignado valores al dominio, tiene distintos nombres: codominio, contradominio, ámbito, rango oimagen de la función (nosotros utilizaremos el término codominio). Los valores del dominio y codominio no solamente son números enteros, sino cualquier valor del sistema de números reales R. Además, la función implica un lenguaje lógico que ayuda a comprender y resolver, así:

Ej. La ecuación y = 2x²+5 define una función que la podemos designar como f, y expresa que ‘si quieres conocer un valorde y al conocer x , debes elevar al cuadrado el número conocido, este valor lo multiplicas por dos, y a todo ello le sumas 5’. Si te preguntas ‘cuál es el dominio de la función’ es como preguntarse ‘qué valores puede tomar la variable independiente’, ó ‘qué valores le está permitido matemáticamente que tome la variable independiente’. Para el caso del Ej. serán ‘todos los valores delconjunto de lo números reales’, es decir ‘todos los negativos, cero y positivos’. En símbolos: (-∞ ≤ x ≤ +∞). El codominio se constituirá de los ‘valores positivos a partir de 5’. En símbolos: [ y ≥ 5).

Ej. Si a la ecuación y = √ x²-9 la expresamos como la función g , y si observamos que los valores a obtener del radical deben ser ‘números reales’, entonces el dominio será el conjunto de valores‘iguales a –3 o menores, e iguales a 3 o mayores’. En símbolos: (-3 ≥ x ≥ 3) . (OBSERVE: con valores de dominio ‘mayores que –3 y menores que 3, algebraicamente no se cumple la función). El codominio a su vez se formará de ‘valores de 0 o menores, y de 0 o mayores’. En símbolos: (0≥ y ≥0). Esta configuración del codominio forma una contradicción con aquello de que ‘para que sea una función,por cada valor de x habrá uno y solamente un valor de y’. En este caso, cuando la expresión y = √ x²-9 debe utilizarse como función, se aplicará solamente la parte de interés, es decir o los valores positivos, o los valores negativos que se obtienen del radical. Hay matemáticos como C.H.Lehmann que a las expresiones como y = 2x²+5 las llama ‘funciones uniformes’, y como y = √ x²-9...