Teoria De Los Numeros

Páginas: 38 (9325 palabras) Publicado: 26 de abril de 2012
INTRODUCCION AL ALGEBRA.

5- TEORIA DE NUMEROS.

Apuntes de la Cátedra.

Vanesa Bergonzi, Alberto Serritella.

Colaboraron: Silvia Capalbo Cristian Mascetti.

Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010.

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

Para mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

Borrador de apunte. Temas faltantes: algunasdemostraciones y ejemplos.

5- TEORIA DE NUMEROS:

N:

NUMEROS NATURALES:

Sea N un conjunto. Consideremos la siguiente estructura:

N = ( N, sg ) donde sg es una relación en N : sg = ( N, N, G sg ) con: G sg ⊂ N × N
Utilizaremos la notación: ∀ x, y ∈ N : [ y = sg x ⇔ ( x, y ) ∈ G sg ]

De la misma forma diremos: ∀ x, y ∈ N : [ y ≠ sg x ⇔ ( x, y ) ∉ G sg ] Diremos que N es un Conjunto deNúmeros Naturales si se cumple: N1) ∃ 0 ∈ N : ∀ x∈ N : 0 ≠ sg x N2) ∀ x∈ N : ∃ y ∈ N : y = sg x N3) ∀ x, y ∈ N : [ sg x ≠ sg y ⇒ x ≠ y ] N4) ∀ x, y ∈ N : [ x ≠ y ⇒ sg x ≠ sg y ] N5) Siendo p(x) una función proposicional cualquiera: se establece como válida la siguiente regla de inferencia: p(0) ∀ x ∈ N : [ p( x ) ⇒ p ( sg x ) ]  ∀z∈N: p(z) La expresión: y = sg x la leeremos como: " y esel siguiente de x " o también " y sigue a x " Establecidos los axiomas anteriores definimos al elemento 0 postulado por el axioma N1 como " cero ". Traducidos estos axiomas y la definición del cero a palabras del lenguaje cotidiano y adelantándonos al significado que vamos a encontrarle, diremos que, hablando de números naturales: N1) N2) N3) N4) N5) El 0 ( cero) no es el siguiente de ningúnnúmero. Todo número tiene un siguiente. Un mismo número no puede tener dos siguientes distintos. Dos números distintos no pueden tener el mismo siguiente. Es lo que se conoce como " Principio de Inducción Completa ".

Corolario 1: sg : N → N es una función inyectiva. No es suryectiva. El axioma (N2) es totalmente similar al (F2) de la definición de función y el (N3) al (F1) con lo cual estos dosaxiomas nos dicen que sg puede ser vista como una función: sg : N → N mientras que (N4) similar a (F3) nos dice que esta función es inyectiva. Pero no puede ser suryectiva debido a que (N1) le impide al cero tener otro número del cual sea el siguiente: 0 ∉ sg ( N ) En resumen sg es una función inyectiva no suryectiva.
Demostración:

Aclaración: En lo anterior hemos definido el 0 (cero) comonúmero natural. De acuerdo con los axiomas vistos lo consideraremos como el primer número natural. Pero formalmente ello no es obligatorio. Se podría construir toda la teoría de números cambiando la definición basada en (N1) por otra que diga que el primer número natural es el 1. Y la teoría resultante sería igual de consistente. En realidad hasta el momento salvo llamar " cero " al elemento del axioma(N1) no lo hemos diferenciado en sus funciones a dicho elemento inicial. Recién vamos a efectuar una opción de fondo cuando le demos al mismo el papel de elemento nulo para la suma. Lo que si estamos obligados a ser es coherentes. Si hemos dicho que el cero es un número natural en adelante deberemos considerarlo siempre así. El haber dicho que el 0 es un número natural es una simple cuestión depreferencias. Ello simplifica en alguna forma la teoría resultante. Y aunque complica otras parecería (al menos a quién esto escribe) que la teoría que se construye es algo más sencilla. Si consideramos lo que dicen los axiomas anteriores en forma combinada lo que resulta es que: Los números empiezan en el 0 (cero) (N1) que es quien comienza una única fila (N3 y N4) de números que no termina nunca(N2). Precisamente (N3) significa que la fila no se bifurca en distintas ramas pero tampoco hay confluencias de ramas (N4). Pero (N2) al combinarse con los otros axiomas precisamente dice algo más: que todo número natural tiene un siguiente que es único. Y que por lo tanto no se les puede meter otro número natural en el medio. Cosa que sí va a pasar con los Número Racionales y con los Reales:...
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