Teoria de matemáticas empresariales(algebra y análisis)

RELACIONES BINARIAS

DEFINICION (de relación binaria)
Sea X un conjunto. Una "relación binaria" definida en X es un subconj. R de X x X. Se usa la notación xRy para indicar que (x,y) ∈ R.

PROPIEDADES
Sea A un conjunto. Una relación binaria R definida en A puede tener alguna de estas propiedades:

(1) Reflexiva: ∀a∈A, aRa

(2) Simétrica: ∀a,b∈A si aRb ⇒bRa.

(3) Transitiva: ∀a,b,c∈A si aRb y bRc ⇒ aRc.

(4) Antisimétrica: ∀a,b∈A si aRb y bRa ⇒ a = b.

DEFINICIONES (de relación de equivalencia y de orden)

Sea A un conjunto y R una relación binaria definida en él:
Se dice que R es "relación de equivalencia" si cumple las propiedades (1) (2) y (3). Escribiremos entonces que a[pic]b en lugar deaRb y diremos que a es equivalente a b.
Se dice que R es "relación de orden parcial" si cumple las propiedades (1) (3) y (4). Una relación de orden se denota por ≤ y diremos que (A,≤)es un conjunto ordenado. Si además de estas tres propiedades se cumple que ∀a,b∈A se tiene que o bien aRb o bien bRa, R es relación de "orden total".
Sea (A,≤) un conjunto ordenado. Se diceque el "orden es bueno" o que A está bien ordenado si todo subconjunto A′ de A no vacío tiene un mínimo. Se cumple que si el orden es bueno, entonces es total, pero no al revés.

DEFINICION ( de clase de equivalencia y conjunto cociente)
Sea A un conjunto, y [pic] una relación de equivalencia definida en él. Se llama "clase de equivalencia de a" [pic]=[pic] al conjunto formado porlos elementos de A que están relacionados con a. Al conjunto de todas las clases de equivalencia se le llama "conjunto cociente" y se denota A/[pic] .
Ejemplo de relación de equivalencia
Sea A=ℤ el conjunto de los números enteros. aRb ⇔ a - b =[pic] ( múltiplo de 3).

Es relación de equivalencia porque cumple las tres propiedades:
REFLEXIVA: aRa ⇔a-a=0=[pic] ∀a∈A

SIMETRICA: si aRb ⇒ a-b=[pic] ⇒ - (a-b) = b-a = -3=[pic]⇒ bRa ∀a,b∈ℤ

TRANSITIVA: si aRb ⇒ a-b =[pic]

si bRc ⇒ b-c =[pic] sumando las dos expresiones a-c =[pic]⇒aRc ∀a,b,c∈ℤ.

Clases de equivalencia: [pic]= {...,-6,-3,0,3,6,...} [pic]= {...,-5,-2,1,4,7,...} [pic]= {...,-4,-1,2,5,8,...}

Conjunto cociente: ℤ/∼ = { [pic],[pic],[pic]}

Ejemplo de relación de orden (parcial) que no es total.

Sea A=ℕ el conjunto de los números naturales. aRb⇔a es divisor de b ∀a,b∈ℕ

Cumple las tres propiedades:

REFLEXIVA: a es divisor de a ⇒ aRa ∀a∈ℕ

ANTISIMETRICA: si aRb⇒a es divisor de b y si bRa⇒b es divisor de a ⇒ a = b ∀a,b∈ℕ

TRANSITIVA: si aRb⇒a es divisor de b y sibRc⇒b es divisor de c ⇒ a es divisor de c ⇒ aRc ∀a,b,c∈ℕ
El orden no es total porque dos números naturales cualesquiera no tienen que ser uno divisor de otro necesariamente.
Si A=ℕ. aRb ⇔ a ≤ b ∀a,b∈ℕ si es relación de orden total y de buen orden. Esta misma relación, pero definida en los números reales , es de orden total pero no bueno.

ESPACIOS VECTORIALESDEFINICION (de espacio vectorial)

Sea E un conjunto y K un cuerpo. Se dice que E es un "espacio vectorial sobre K" o un K_espacio vectorial si hay definidas dos operaciones, una interna que es la suma de vectores
+ : E × E → E
(e , e′) → e + e′ y otra externa, el producto de un vector por un escalar
K × E → E
(λ, e ) → λe tales que:

(1)( E, +) es grupo abeliano, es decir, se cumplen las siguientes propiedades:
(a) Asociativa e+(e′+e′′ ) = (e+e′)+e′′ ∀e,e′,e′′ ∈ E
(b) Conmutativa e+e′ = e′+e ∀ e,e′ ∈ E
(c) Elemento neutro ∃ [pic]∈ E tal que e+ [pic]= [pic]+e = e ∀ e ∈ E
(d) Elemento simétrico ∀ e ∈ E, ∃( -e)∈ E tal que e + (-e) =(-e) +e= [pic]

(2) La operación externa cumple las...