Teoria de muestreo

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Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacional µ, entonces la media muestral, como medida, conlleva algún error. Por ejemplo, supongamos que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población con media µ = 15: si la media de la muestra es x=12, entonces a la diferencia observada x- µ = -3 se le denomina el error muestral.Una media muestral x puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacional µ y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces: X=µ+e






Ejemplo Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tres valores, 2, 4 y 6, para simular una población "grande" de manera que el muestreo pueda realizarse un gran número de veces, supondremos que éste sehace con reemplazo, es decir, el número elegido se reemplaza antes de seleccionar el siguiente, además, se seleccionan muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan las observaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4) es distinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se seleccionó primero 4 y después 2. La siguiente tabla contiene una listade todas las muestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar con reemplazo y también contiene las medioas muestrales y los correspondientes errores muestrales. La media poblacional es igual a
µ = (2+4+6)/3 = 4







La media de la colección de medias muestrales es 4, la media de la población de la que se extraen las muestras. Si µx denota la media de todas las mediasmuestrales entonces tenemos: µ x = (3+4+3+4+5+5+2+4+6)/9 = 4




La suma de los errores muestrales es cero. E1 +e2+..+en =0

Muestras ordenadas (2,2) (2,4)

x 2 3

Error muestral e=x-µ 2-4=-2 3-4=-1



Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia, impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y tomadas de la mismapoblación tenga la misma media muestral o que sean completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes en el estudio de laestadística inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones se harán usando estadísticas muestrales. Como el análisis de las distribuciones asociadas con los estadísticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido.







Como los valores de un estadístico, tal como x,varían de una muestra aleatoria a otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente distribución de frecuencias. La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño. Suponga que se hanseleccionado muestras aleatorias de tamaño 20 en una población grande. Se calcula la madia muestral x para cada muestra; la colección de todas estas medias muestrales recibe el nombre de distribución muestral de medias.



Suponga que se eligen muestras aleatorias de tamaño 20, de una población grande, y se calcula la deviación estándar de cada una. La colección de todas estas desviacionesestándar muestrales se llama distribución muestral de la desviación estándar.



Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2, con reemplazo, de la población de valores 0, 2, 4 y 6. Encuentre:
La media poblaciona. La desviación estándar poblacional. La media de la distribución muestral de medias. La desviación estándar de la distribución muestral de medias.

  



c) La media de la...
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