Teoria de numeros

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Aproximación constructiva: números irracionales y trascendentes
B. de la Calle Ysern ´ Dpto. de Matematica Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales, ´ Universidad Politecnica de Madrid

Encuentro Iberoamericano – p. 1/2

La cuadratura del c´rculo ı
• Problemas clásicos de la Antigüedad:   La trisección del ángulo.  La duplicación del cubo.   La cuadratura del círculo.

EncuentroIberoamericano – p. 2/2

La cuadratura del c´rculo ı
• Problemas clásicos de la Antigüedad:   La trisección del ángulo.  La duplicación del cubo.   La cuadratura del círculo. • Antecedentes:

Magnitudes inconmensurables. Construcciones con regla y compás.

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La cuadratura del c´rculo ı
Números constructibles o euclídeos son aquellos que se puedenconstruir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E.

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La cuadratura del c´rculo ı
Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E.

• Dificultades:

No todo númeroreal es constructible: R ⊂ E. Carencia de nociones algebraicas.

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La cuadratura del c´rculo ı
Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E.

Son aquellos números que se obtienen a partir de Q mediante las operaciones decuerpo y extracción de raíces cuadradas.

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La cuadratura del c´rculo ı
Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E. El polinomio mínimo de z ∈ C es, si existe, el de menor grado entre los polinomios mónicos y con coeficientes en Qque tienen a z como raíz. Se caracteriza por ser irreducible en Q.

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La cuadratura del c´rculo ı
Números constructibles o euclídeos son aquellos que se pueden construir mediante el uso combinado de la regla y el compás a partir de una magnitud unitaria. Los denotaremos por E. El polinomio mínimo de z ∈ C es, si existe, el de menor grado entre los polinomiosmónicos y con coeficientes en Q que tienen a z como raíz. Se caracteriza por ser irreducible en Q.

El polinomio mínimo de un número constructible tiene grado 2m

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La cuadratura del c´rculo ı
Wantzel (1837). Imposibilidad de la duplicación del cubo y la trisección del ángulo:
• El polinomio x3 − 2 es irreducible de grado 3. • Si π/3 se pudiera trisecarentonces 2 cos(π/9) sería

constructible. Además es raíz de x3 − 3x − 1, polinomio irreducible de grado 3.

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La cuadratura del c´rculo ı
Llamaremos números algebraicos a aquellos que sean raíz de algún polinomio con coeficientes en Q. El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. El conjunto de números algebraicos lo denotaremos por A.Encuentro Iberoamericano – p. 3/2

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Llamaremos números algebraicos a aquellos que sean raíz de algún polinomio con coeficientes en Q. El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. El conjunto de números algebraicos lo denotaremos por A.

Q

E

A⊂C

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La cuadratura del c´rculo ı
Llamaremos númerosalgebraicos a aquellos que sean raíz de algún polinomio con coeficientes en Q. El grado de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo. El conjunto de números algebraicos lo denotaremos por A.

Los elementos de C \ A se llaman números trascendentes.
• ¿Existen números trascendentes? • ¿Cuántos hay? • ¿Cómo se prueba que un número es trascendente? • ¿Es π trascendente?

Encuentro...
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