Teoria De Proporcionalidad

Profesor Cichero
Matemática I



Apunte de la Cátedra: “Teoría de proporcionalidad directa e inversa ”

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes x e y son directamente proporcionales si al multiplicar (ó dividir) una de ellas por cierto factor la otra también se multiplica (divide) por el mismo factor. Por ejemplo, si una aumenta al doble, triple, etc. la otratambién aumenta al doble, triple, etc. y si una disminuye a la mitad, tercio, etc. la otra también disminuye a la mitad, tercio, etc. Describimos esta situación diciendo que si una de ellas cambia, la otra lo hace “en la misma proporción”.

Observa que no basta saber que una magnitud aumenta (ó disminuye) cuando lo hace la otra para concluir que son directamente proporcionales; por ejemplo el volumende una esfera no es directamente proporcional a su radio; la distancia recorrida por un cuerpo que cae no es directamente proporcional al tiempo transcurrido en su caída; etc. Sólo cuando ambas aumentan (ó ambas disminuyen) en el mismo factor decimos que son proporcionales.

[ Nota: Cuando digamos de ahora en adelante que dos magnitudes son “proporcionales” (sin adjetivos) se debe entender quela relación es de proporcionalidad directa.]

Matemáticamente, la relación de proporcionalidad directa se expresa así: Una magnitud y es directamente proporcional a otra magnitud x, si los valores de y se relacionan con los valores correspondientes de x según la fórmula [pic].
La constante k se denomina “constante de proporcionalidad”. Dicha constante es el valor de y que corresponde a [pic],y en la práctica se la puede calcular haciendo el cociente de cualquier par de valores correspondientes de estas magnitudes, ya que [pic]
Representemos gráficamente una función de proporcionalidad, con [pic]:













La gráfica que representa la relación de proporcionalidad es siempre una función lineal que pasa por el origen de coordenadas.

Supongamos ahora que y esproporcional a x y además se sabe que cuando la variable x toma el valor [pic], la variable y asume el valor correspondiente [pic]. Estos datos [pic] determinan completamente la función, pues podemos deducir que para [pic] será [pic], para [pic] será [pic], para [pic] será [pic], y así sucesivamente.


Escribamos un ejemplo en forma de tabla:

|x |[pic] |[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|y |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

La relación entre los valores de x e y que aparecen en la Tabla, está dada por [pic]. Observa que [pic] y que el cociente [pic] de cualquier parde valores correspondientes arroja el mismo valor.

Recordemos que en una fórmula como “[pic]” se considera que x es la variable independiente, y es la variable dependiente o función, mientras que k es un parámetro constante cuyo valor individualiza cada función. El valor de k es arbitrario (la función [pic] no ocurre en ninguna aplicación real de la proporcionalidad, así que podemos suponer[pic]) pero es un número fijo en cada caso particular. Por ejemplo, [pic] es una función de proporcionalidad directa en la que [pic]; [pic] es otra función de proporcionalidad directa, en la que [pic]; etc.

Por otra parte, siempre que estudiemos una función [pic], debe estar dado (explícita ó implícitamente) el dominio de dicha función. En muchos, pero no en todos los casos, el dominio de unafunción de proporcionalidad directa consta de todos los números no negativos (los positivos junto con el cero) pero también puede ser un intervalo de números [pic].

Ejercicio.
Se sabe que una caja pesa 0,25 kg. Completa la tabla con los valores faltantes, suponiendo que todas las cajas son iguales:


|N° cajas |1 |2 | |7 |...