Teoria DERIVADAS E INTEGRALES 1 1


DERIVADAS E INTEGRALES

LA DERIVADA

En el mundo real los procesos económicos, físicos, demográficos etc, se desarrollan en el tiempo, por lo que es de interés natural estudiar su tasa de cambiorespecto al tiempo.
La pendiente de una recta, es una tasa o razón de cambio de la variable “y” respecto de la variable “x”. Por ello, empezaremos este tema con tratando de pendientes de rectas secantesy tangentes, veamos la siguiente definición.

DEFINICIÓN.- Sea una función dada. La derivada de respecto a , denotada por, es otra función definida por:

Si este límite existe
Interpretacióngeométrica
Sea la función
La tasa de variación media de la función en el intervalo es:

Este valor coincide con la pendiente de la recta secante .

Si tomamos un intervalo de longitud menor que vayadesde –2 hasta cero, esto es , tendremos:
,
Valor que corresponde a la pendiente de la recta secante .
Consideremos ahora el intervalo , tenemos
,
Que es el valor de la pendiente de la rectasecante .
Conforme el intervalo va disminuyendo la amplitud del intervalo considerado, los puntos de corte determinados por las distintas secantes se hacen cada vez más cercanos. En el límite ambos puntoscoinciden, así la recta secante se convierte en recta tangente.

La derivada de función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Es decir


TeoremasFundamentales

Sean funciones diferenciables y constantes entonces:
1.
2.
3. “ Regla del producto”
4. “ Regla del cociente”
5. “Regla de la cadena”

EJEMPLOS

Hallala derivada de cada una de las siguientes expresiones:
a) b)
c) d)
f)Solución
a) =
b)
=
c)
= =
d)==
g)
=

Sea s = s(t) una función que describe la posición de un objeto en movimiento rectilíneo, su...