teoria polinomios

Flavia Buffo
Marcela Caldarelli
Susana Orofino
Adriana Verdiell

Monomios en una variable
Se llama monomio a la expresión algebraica de la

forma ax n donde x es una variable, a ∈ R y n ∈ Z, n ≥ 0.

a es el coeficiente y si

a ≠ 0, n es el grado del

monomio.
Si a = 0, ax n = 0, es el monomio nulo y no tiene
grado.

Observa que cero se puede
expresar como
0 x 3 = 0,

0 x10 = 0.

Las constantes a ≠ 0, son monomios de grado 0.

Ejemplos:

1 5
− x es un monomio de grado 5,
3

− 2x es un monomio de grado 1,

− 3 es un monomio de grado 0.
 El opuesto del monomio ax n es el monomio ( −a)x n .
Los monomios del mismo grado se dicen semejantes.

Operaciones entre monomios
La suma de monomios semejantes, ax n y bx n , es el

monomio (a + b)x n .Ejemplo:

3 x 3 + 2 x 3 = ( 3 + 2) x 3 = 5 x 3 ,

De las definiciones de opuesto de un monomio y suma de monomios
resultan:

ax n + ( −a)x n = 0

ax n − bx n = ax n + ( −bx n ) = (a − b)x n .

Ejemplo:

3 x 3 − 2 x 3 = ( 3 − 2) x 3 = x 3 ,

 El producto de dos monomios ax n y bx m es el monomio
(a ⋅ b)x n+m .

Ejemplo:

1
(6x ) ⋅  − 2 x

4

5




 − 1
= 6 ⋅  x 4 +5 = −3 x 9 .

 2 


Del producto de monomios se deduce que si p ∈ N,

(ax )
n

Ejemplo:

(− 2x )

2 3

p

=a x

= −8 x 6

p

n⋅p

El cociente del monomio ax n por bx m , b ≠ 0, n ≥ m,
a n−m
es el monomio x .
b

Ejemplo:

( )(

)

6 3
 6  5−2
6x : − 5x = 
x = − x .
5
−5
5

2

Prueba ahora hacer los ejercicios 1 y
2 de la guía deejercitación

¿ Qué se obtiene si se suman monomios de distinto
grado?

Polinomios en una variable
 Se llama polinomio y se nota P( x ), a la expresión que

se obtiene al sumar monomios.
Ejemplos: 1) P( x ) = 3 + x 2 + x;

2) P( x ) = − 2x 3 .
Si los monomios son nulos, el polinomio que se obtiene se
llama polinomio nulo y se nota P( x ) = 0.
Todo polinomio no nulo puede escribirse:P( x ) = an x n + an−1 x n−1 + .... + a 2 x 2 + a1 x + a 0 ,
a n ≠ 0.

(I)

Los números a0 , a1,, an se llaman coeficientes del
polinomio, an es el coeficiente principal , a 0 el término
independiente y n el grado.
Ejemplo :

Para indicar el grado del
polinomio notaremos
gr(P)= n

P( x ) = 2x 2 − 1
Q( x ) = − x 5 + 4 x 3 − 6 x 2
Grado

Coeficiente
Principal

Términoindependiente

P (x )

2

2

−1

Q(x )

5

−1

0

Completar un polinomio de grado n, es escribirlo en la
forma (I), agregando los monomios 0 x i , 0 ≤ i < n
que faltan.
Ejemplos:
P( x ) = 2x 2 − 1 = 2x 2 + 0 x − 1,
Q( x ) = x 5 + 4 x 3 − 6 x 2 = x 5 + 0 x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 + 0 x + 0.
Es útil completar polinomios
para operar con ellos.

Sea P( x ) = an x + an−1 x
n

n −1+ .... + a 2 x + a1 x + a0 ,
2

 El opuesto es el polinomio

− P( x ) = −an x n − an−1 x n−1 − .... − a 2 x 2 − a1 x − a0 .
Ejemplo:

P( x ) = 3 x 4 + 2x 3 − 5 x,
− P( x ) = −3 x 4 − 2x 3 + 5 x.
El polinomio P( x ) = 1 se llama polinomio unitario.

Igualdad de polinomios
Dos polinomios P( x ) = an x n + an−1 x n−1 + .... + a 2 x 2 + a1 x + a0

y

Q( x ) = bm x m + bm−1 x m−1+ .... + b 2 x 2 + b1 x + b0

iguales si tienen el mismo grado

(n = m) y

son
sus

coeficientes satisfacen ai = bi , i = 1, 2,..., n.
Ejemplo:
P( x ) = 2x 3 + x − 1 y Q( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
son iguales si y sólo si

a = 2, b = 0, c = 1 y d = −1.

Operaciones con polinomios
Dados los polinomios

P( x ) = an x n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0

y Q ( x ) = bm x m + bm−1xm−1 + ... + b1x + b0 ,

n > m,

la suma de P( x ) y Q ( x ) es el polinomio

(P + Q)( x ) = an xn + an−1xn−1 + ... + (am + bm )xm + ... + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ).
Observa : si

P ≠ 0, Q ≠ 0 y P + Q ≠ 0,

entonces, gr (P + Q) ≤ máx { gr (P), gr (Q)}

Ejemplos:
Efectuar la suma de los siguientes polinomios:
a)

P( x ) = −5 x 3 + x + 1, Q( x ) = 5 x 3 + x 2 − 3 x.
P( x ) + Q( x...