Teoria y conceptos de estadistica ii

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Coeficiente de Correlación.
Se define como la raíz cuadrada positiva del Coeficiente de Determinación.
Varía entre -1 y 1.
Cuanto mayor es (en valor absoluto), mayor es el ajuste de la nube de puntos a la recta, lo que implica que mejores son las estimaciones.
Si =1, la recta es creciente. Si =-1 la recta es decreciente.
La ecuación de la recta de regresión de y sobre x es: A la pendiente dela recta se le llama coeficiente de regresión.

Regresión lineal simple

Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:
[pic]
donde [pic]es el error asociado a la medición del valor Xi y siguen los supuestos de modo que [pic](media cero, varianza constante e igual a un σ y [pic]con [pic]).

Análisis

Dado el modelo de regresiónsimple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:
[pic]
[pic]
Calculando [pic]y [pic]. Para esto se buscan dichos parámetros que minimicen [pic]
Derivando respecto a [pic]y [pic]e igualando a cero, se obtiene:
[pic]
[pic]
Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:
[pic]
[pic]
Lainterpretación del parámetro beta 2 es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en beta 2
PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta.

Sea X: variable aleatoria poblacional
f0(x) la distribución (o densidad) de probabilidad especificada o supuesta para X

Se deseaprobar la hipótesis:
Ho: f(x) = f0(x)

En contraste con la hipótesis alterna:
Ha: ( H0 (negación de Ho)

Propiedades de los estimadores

Se denomina sesgo de un estimador a la diferencia entre la esperanza (o valor esperado) del estimador y el verdadero valor del parámetro a estimar. Es deseable que un estimador sea insesgado o centrado, es decir, que su sesgo sea nulo por ser su esperanzaigual al parámetro que se desea estimar.
Por ejemplo, si se desea estimar la media de una población, la media aritmética de la muestra es un estimador insesgado de la misma, ya que su esperanza (valor esperado) es igual a la media de la población.
En efecto, si una muestra X=(X1,X2,...,Xn)t procede de una población de media μ, quiere decir que:
E[Xi] = μ para cualquier i=1...n
La mediaaritmética o media muestral,

[pic], con lo que, al aplicar las propiedades de linealidad de la esperanza matemática se tiene que:
[pic]
[pic]
[pic]

Eficiencia

Artículo principal: eficiencia (estadística)
Diremos que un estimador es más eficiente o más preciso que otro estimador, si la varianza del primero es menor que la del segundo. Por ejemplo, si [pic]y [pic]son ambos estimadores de θ y[pic]
,
diremos que [pic]es más eficiente que [pic]. Un estimador es más eficiente (más preciso), por tanto, cuanto menor es su varianza.
La eficiencia de los estimadores está limitada por las características de la distribución de probabilidad de la muestra de la que proceden. El teorema de Cramér-Rao determina que la varianza de un estimador insesgado [pic]de un parámetro θ es, como mínimo,[pic]
donde f(X;θ) es la función de densidad de probabilidad de la muestra [pic]en función del parámetro θ, (denominada función de verosimilitud). Si un estimador alcanza esta cota mínima, entonces se dice que el estimador es de mínima varianza.

Consistencia

Si no es posible emplear estimadores de mínima varianza, el requisito mínimo deseable para un estimador es que a medida que el tamaño dela muestra crece, el valor del estimador tienda a ser el valor del parámetro, propiedad que se denomina consistencia. Existen diversas definiciones de consistencia, más o menos restrictivas, pero la más utilizada es la denominada consistencia en media cuadrática que exige que:
1. [pic]cuando [pic]
2. [pic]cuando [pic]

Robustez

El estimador [pic]será un estimador robusto...
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