Teoria

TEORIA ELECTROMAGNÉTICA

ANÁLISIS VECTORIAL

CAMPO ESCALAR Y CAMPO VECTORIAL
El término escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple número real (positivo o negativo), por tanto, sólo posee magnitud. Ejemplos: tiempo, masa, distancia, temperatura, potencial eléctrico, población.

Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como dirección. Ejemplos:velocidad, fuerza, desplazamiento, intensidad de campo eléctrico.

Un campo es una función que especifica una cantidad particular en cualquier parte d una región. de Ejemplos de Campos Escalares: distribución de la temperatura en un edificio, intensidad del sonido en un teatro, potencial eléctrico en una región. Ejemplos de Campos Vectoriales: fuerza gravitacional, velocidad de las gotas delluvia en la atmósfera.

ALGEBRA DE VECTORES

1. La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo. Vectores Coplanares

La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa, es decir: A+B=B+A A + (B + C) = (A + B) + C 2. La sustracción A – B se puede expresar como A + (-B). El signo y la dirección del segundo vector se invierten, y se aplica la primera regla.

ALGEBRA DEVECTORES

3. Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Si el escalar es positivo, entonces: el vector cambia de magnitud pero no de dirección. Si el escalar es negativo, entonces: la dirección del vector se invierte. La multiplicación de un vector por un escalar también tiene las propiedades asociativa y distributiva, es decir: (r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B) (r + s)(A + B) = rA + rB + sA+ sB

4. La división de un vector por un escalar consiste en la multiplicación por el recíproco de dicho escalar. 5. Dos vectores son iguales si su diferencia es cero, es decir: A = B si A – B = 0.

VECTORES UNITARIOS
Un vector A posee tanto magnitud como dirección. La magnitud de A es un escalar, el cual se escribe A o |A|. Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud =1 y cuya dirección sigue la dirección de A, esto es:

aA =

A A = A A
A=
2 Ax2 + Ay + Az2

Siendo

Normalmente, el vector unitario se denota utilizando uno de estos símbolos: uA, aA, 1A o simplemente a. Si se tiene en cuenta que | aA |= 1, A se puede expresar: A = AaA Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas así: A = (Ax, Ay, Az) o A = Axax + Ayay + Azaz.

VECTORESUNITARIOS
(a) Componentes vectoriales x, y y z del vector r. (b) Los vectores unitarios it i del d l sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables. (c) El vector posición RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP.

VECTORES UNITARIOS
Ejemplo 1.1: Especificar el vector unitario dirigido desde el origen haciael punto G(2,-2,-1). Solución: 1. Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G. G = 2ax – 2ay –az 2. Se determina la magnitud de G.
2 G = G x2 + G y + G z2

G =

(2)2 + (− 2)2 + (− 1)2

=3

3. Se expresa el vector unitario deseado como el cociente,

aG =

2 1 G G 2 = = ax − ay − az G G 3 3 3

a G = 0.667 a x − 0.667 a y − 0.333 a z

EJERCICIO EN CLASED1.1 Dados los puntos M(-1,2,1), N(3,-3,0) y P(-2,-3,-4), encontrar: a) b) c) d) e) RMN RMN + RMP |rM| aMP |2rP – 3rN|
Respuestas: a) 4ax – 5ay – az b) 3ax – 10ay – 6az c) 2.45 d) -0.14ax – 0.7ay – 0.7az e) 15.56

PRODUCTO PUNTO
Dados dos vectores A y B, el Producto Punto o Producto Escalar, se define:

A ⋅ B = A B Cosθ AB
El producto escalar obedece a la ley conmutativa, esto es:

A⋅B =B⋅A
La expresión

El signo del ángulo no afecta el término coseno

A ⋅ B se lee : A punto B.
A θ B

θ es el menor ángulo entre los vectores A y B Ej. de producto punto:

Trabajo = ∫ F ⋅ dL

PRODUCTO PUNTO
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva, como se muestra a continuación: Sean los vectores A y B:

A = A x a x + A ya y...